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Integration von Differentialoperatoren

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Integration

Tags: Integral, Integration

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00:05 Uhr, 01.03.2010

Hallo Leutz,

ich weiß nicht ob das mit der Überschrift: "Integration von Diffferentialoperatoren" ganz stimmt, entscheidet euch am besten für euch selbst und berichtigt mich ggf.:

Ich verstehe folgendes Vorgehen nicht, das aus einem Mechanikbuch stammt:

__________________________________________

Aus der Gleichung

$\ddot{φ} = \frac{g}{r} \sin (φ)$

folgt durch Multiplikation mit $\dot{φ}$ und Integration:

$\dot{φ} \ddot{φ} = \frac{g}{r} \sin (φ) \dot{φ} \to \frac{1}{2} {\dot{φ}}^{2} = - \frac{g}{r} \cos (φ) + C$

__________________________________________

Kann mir das jemand erläutern?!? Die rechte Seite verstehe ich ja noch, denn:

$\int \frac{g}{r} \sin (φ) \frac{d φ}{d t} ⅆ t = \frac{g}{r} \int \sin (φ) ⅆ φ = - \frac{g}{r} \cos (φ) + \tilde{C}$

mit $\tilde{C}$ als Integrationskonstante der rechten Seite.

Doch wie gehe ich die Sache links an? Wie ich es drehe und wende, leider komme ich nicht auf das Ergebnis $\dot{φ} \ddot{φ} = \frac{1}{2} {\dot{φ}}^{2}$ . Hat jemand da ne Idee?? Wäre sehr dankbar, denn zerbreche mir schon eine ganze Weile den Kopf über das ganze!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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00:52 Uhr, 01.03.2010

hmmm... meines erachtens fehlt da noch ein punkt..

muesste also

\frac{1}{2} {\dot{φ}}^{2}

heissen. wenn man die probe macht, also ableitet greift ja die kettenregel. das waere dann aeussere ableitung

\frac{1}{2} \cdot 2 {\dot{φ}}^{2 - 1} = \dot{φ}

mal die innere ableitung also

\dot{φ} \cdot \overset{..}{φ}

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01:23 Uhr, 01.03.2010

Hallo MokLok!

Danke für die schnelle Antw., vorallem um diese Uhrzeit! Also erstmal hattest du Recht, der fehlende Punkt geht auf mein Konto und habe ich berichtigen müssen!

Deine Erklärung hört sich schonmal sehr nice an. Wenn ich das also richtig verstehe ist:

$\dot{(\frac{1}{2} \dot{φ} ²)} = (\ddot{φ} = innere A b l .) m a l (\frac{2}{2} \dot{φ} = ä u ß e r e A b l .)$

Diese Rückführung, hat leider mein Problem noch nicht ganz Lösen können. Als bekennder großer Fan von Integraltafeln muss ich beim Integral passen --> "grrr"

Aber sowas wie äußere mal innere Ableitung hört sich doch nach Substitution an, oder?!?

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01:35 Uhr, 01.03.2010

prinzipiell hast du recht... man kann hier mit substitution ansetzen. aber das ist schon fast laecherlich, da ja schon alles in den

φ' s

verpackt ist. will sagen, dass eine substitution nicht viel vereinfacht, sondern sogar alles ein wenig verkompliziert.

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13:55 Uhr, 01.03.2010

Mit den Differentialoperatoren, also ich meine $\frac{ⅆ φ}{ⅆ t}$ und $\frac{ⅆ ² φ}{ⅆ t^{2}}$ ,komme ich ganz durcheinander.

Es ist:

$\int \dot{φ} \ddot{φ} ⅆ t = \int \frac{ⅆ φ}{ⅆ t} \frac{ⅆ ² φ}{ⅆ t^{2}} ⅆ t$

soweit so gut. Nun habe ich mehere Möglichkeiten ausprobiert:

1.) Ich kann ich das $d t$ kürzen:

$= \int \frac{ⅆ φ}{ⅆ t} \frac{ⅆ φ}{ⅆ t} ⅆ φ = \int {(\frac{ⅆ φ}{ⅆ t})}^{2} ⅆ φ = \int {(\dot{φ})}^{2} ⅆ φ = ? ?$

2.) Ich könnte $\ddot{φ}$ vor das Integral ziehen:

$= \ddot{φ} \int \dot{φ} ⅆ t = \frac{ⅆ ² φ}{ⅆ t^{2}} \int \frac{ⅆ φ}{ⅆ t} ⅆ t = \frac{ⅆ ² φ}{ⅆ t^{2}} \int ⅆ φ = \ddot{φ} φ$

3.) Ich multipliziere: $\ddot{φ} m i t \dot{φ}$

$= \ddot{φ} \dot{φ} = \frac{ⅆ ² φ}{ⅆ t^{2}} \frac{ⅆ φ}{ⅆ t} = \int \frac{ⅆ ³ φ}{ⅆ t^{3}} ⅆ t = ? ?$

Wie kann ich mit solchen theoretischen Größen umgehen? Ich weiß nicht weiter...

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14:13 Uhr, 01.03.2010

hey,

zu

1)

du hast zwar

d t

gekuerzt, aber bleiben oben noch

d^{2} φ

stehen. die zwei hast du voellig ignoriert.

zu

2)

man darf

\overset{..}{φ}

nicht vor das integral ziehen, da dieses auch von

t

abhaengt.

zu

3)

die multiplikation von ableitungen fuehrt nicht zu ableitungen hoeheren grades...

mit diesen

d t

wie mit variablen zu rechnen, ist ein wenig geschummelt und deshalb auch ein wenig gefaehrlich. hier also nicht so viel energie reinstecken das wirklich verstehen zu wollen (ist nur meine persoenliche meinung).

wenn du unbedingt mit integrieren arbeiten willst gehe so vor...

u = \dot{φ}

\frac{d u}{d t} = \overset{..}{φ}

\frac{d u}{\overset{..}{φ}} = d t

einsetzen

\int u \cdot \overset{..}{φ} \frac{d u}{\overset{..}{φ}} = \int u d u = \frac{1}{2} u^{2}

ruecksubstituieren

\frac{1}{2} {\dot{φ}}^{2}

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14:37 Uhr, 01.03.2010

Hey MokLok, vielen lieben Dank! Toll das du mir so schnell helfen konntest. Dann kann ich jetzt das ganze ja ein bisschen nachvollziehen und in Zukunft weiß ich, welche Operationen erlaubt sind!

Nur nochmal zum Kürzen bei 1.): Dort habe ich das Quadrat nicht ignoriert! Habe $ⅆ t$ gekürzt und anschl. das $\frac{ⅆ ² φ}{ⅆ t} = \frac{ⅆ φ}{ⅆ t} ⅆ φ$ auseinandergezogen und Integriert.

Lg!

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14:50 Uhr, 01.03.2010

ups, mein fehler...

schwierig ist jetzt zu beurteilen ob man da das

d t^{2}

kuerzen darf... da muss ich erstmal passen. wenn du dir das mal genau angucken willst, musst du beachten dass

\frac{d f (x)}{d x}

ja fuer den differentialquotienten steht. also

\frac{d f (x)}{d x} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x_{0}) - f (x)}{x_{0} - x}

das musst du dann fuer die zweite ableitung nochmal anwenden und gucken ob man da prinzipiell kuerzen darf... aber wie schon gesagt: das mit den

d x

wie mit variablen umzugehen ist sowieso schon ein wenig geschummelt... wenn man das genau verstehen will landet man ganz schnell bei den Hyperreellen zahlen. die habe ich aber auch noch nicht verstanden.

lg

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15:30 Uhr, 01.03.2010

$\frac{d^{2} φ}{{d t}^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{d φ}{d t}) \neq \frac{d φ}{d t} \cdot \frac{d φ}{d t} = {(\frac{d φ}{d t})}^{2}$

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16:43 Uhr, 01.03.2010

\dot{φ} \cdot \overset{..}{φ} = - \frac{g}{r} \cdot s i n φ \cdot \frac{d φ}{d t}

ist ein beliebter Physikertrick ("Trick 17b").

\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} {\dot{φ}}^{2}) = \dot{φ} \cdot \overset{..}{φ}

\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} {\dot{φ}}^{2}) = - \frac{g}{r} \cdot s i n φ \cdot \frac{d φ}{d t} ∣ \cdot d t

d (\frac{1}{2} {\dot{φ}}^{2}) = - \frac{g}{r} \cdot s i n φ \cdot d φ

Die weitere Integration auf

φ (t)

führt zu elliptischen Integralen.

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19:07 Uhr, 01.03.2010

@MokLok: Also wie das mit dem Differentialqutienten und dem "Kürzen-Dürfen" zusammenhängt, dass weiß ich natürlich auch nicht. Sehe halt immer nur, wie mein Mechanik-Prof. wie ein Wilder in den Integralen herumstreicht, deshalb muss man wohl "irgendwie" Kürzen können. Mir reicht es allerdings, das ich nun wiß wie ich auf die Lsg. kommen kann!

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19:08 Uhr, 01.03.2010

@Rabanus:

1. Antw: Also dieses Quadrat in

$\frac{ⅆ ² φ}{ⅆ t^{2}}$

verführt einem sehr es als Produkt zu sehen. Ist es nicht. Alles klar, Danke!

2. Antw: Wenn das also "Trick 17-B" sein soll, gibts dann noch den "Master-Trick":

"Trick 17-A"??

Auf jeden Fall gehe ich ja mit deiner Argumentation konform. Das Ding ist ja nur, dass du beim Ableiten vorrausgesetzt hast, dass:

$\frac{ⅆ}{ⅆ t} (\frac{1}{2} \dot{φ}) = \dot{φ} \ddot{φ}$

ist.

Wenn ich nun aber ausversehen den Trick vergesse und nur noch weiß, dass ich

$\ddot{φ}$ mit $\dot{φ}$ multiplizieren muss und anschließend zu Integrieren habe. Dann bleibt mir doch nichts anderes übrig, als das Integral mittels Substitution zu lösen?? (siehe Moklok--^) Oder gibt es da noch einen anderen Weg? ---> so wie "Trick 17-A" vielleicht?!?

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00:13 Uhr, 02.03.2010

Den 'Master-Trick' gibt es nicht ! (leider)

Aber als Eselsbrücke die zeitliche Ableitung der kinetischen bzw. der Rotationsenergie.
Beispiel mit E_kin:

\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = m \cdot \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} v^{2}) = m \cdot v \cdot \dot{v} = m \cdot \dot{s} \cdot \overset{..}{s}

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16:56 Uhr, 02.03.2010

Frei nach der Kettenregel! Hiermit schließe ich auch endgültig meine Frage, erkläre sie als beantwortet und danke allen Beteiligten nochmals für Ihre kompetenten Einbringungen!

Greetzlie!

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