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Integration/Substitution/Binom
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Binom, Integral, Substitution
 
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Ahoy zusammen, Meine Dozentin hat an der Tafel folgendes berechnet: Int(x-3)^2 Meiner Meinung ist das falsch, da man hier das Integral durch Substitution oder durch Berechnung des Binoms lösen muss. Ich hätte für das Integral: Aber da meine Dozentin den obigen Lösungsweg gleich mehrmals benutzt hat, bin ich mir doch sehr unsicher und wollte deshalb mal hier um Hilfe bitten. Hat die Tatsache, ob es sich um ein bestimmtes oder unbestimmtes Integral handelt, hier vielleicht einen besonderen Einfluss? Vielen Dank schonmal im Vorraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, da es sich hier um einen linearen Integranden mit dz = dx (bei z = x - 3) handelt, kann man schon so integrieren, allerdings ergibt sich nicht 13 als Faktor sondern es muss richtig heißen: Int(x-3)^2 = 1/3 (x-3)^3 + C (das kannst du durch Ableiten ja leicht prüfen)
Man kann aber auch durch Ausmultiplizieren vor dem Integrieren erhalten:
Int(x^2 - 6x + 9) = 1/3 x^3 -2 x^2 + 9x
Beide Ergebnisse unterscheiden sich nur durch die Integrationskonstante C, die ja beliebig sein kann.
Guten Rutsch mathos |
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Da steht nichts von 13 bei Marky, es liegt wohl daran dass du nicht Mozilla Firefox benutzt oder du nicht dem Math Player installiert hast. Guten Rutsch, Gruß Björn |
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Hallo! Zunächst einmal: Nein, es macht in diesem Zusammenhang keinen Unterschied, ob es sich um ein bestimmtes oder ein unbestimmtes Integral handelt. In beiden Fällen muss ja zunächst die Stammfunktion berechnet werden (Stammfunktion = unbestimmtes Integral), womit deine Aufgabe gelöst ist. Beim bestimmten Integral musst du dann noch in diese Stammfunktion zunächst die Obergrenze, dann die Untergrenze einsetzen und anschließend die Differenz berechnen. Die Zahl, die du erhältst, ist das bestimmte Integral. Zurück zu deiner Aufgabe: Es handelt sich hier um eine sog. verschachtelte Funktion, welche man am besten durch Substitution integriert. Man ersetzt hier die innere Funktion durch und leitet dann ab: Jetzt schreibt man allerdings die Ableitung nicht als , wie es meistens gemacht wird, sondern man benutzt den Differenzialquotienten: Durch einfache Term-Umformung ergibt sich dann . Wenn man jetzt in dem ursprünglichen Integral durch ersetzt und durch , so wird aus jetzt . Dieses Integral errechnet man bekanntlich so: . Jetzt macht man die Substitution wieder rückgängig und aus wird . Das wars. Deine Idee mit der binomischen Formel ist ebenfalls machbar, doch in anderen Aufgaben als deiner hier kann das ziemlich aufwändig werden. Wenn die Aufgabe z. B. lautet , dann bekommst du bei der Berechnung der binomischen Formel und der anschließenden Integration der errechneten Summanden echte Probleme. Die Substitutionsmethode dagegen funktioniert genau so einfach wie bei . Das sieht dann nämlich so aus: . Ich hoffe, das hilft dir schon mal weiter. Fürs neue Jahr wünsche ich dir und natürlich allen Mitgliedern des Forums alles Gute :-). |
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Ich denke Marky ist sich durchaus bewusst darüber was Substitution ist und wollte diese ja auch anwenden. Wahrscheinlich hat er nur gedacht seine Dozentin hätte es mit der Potenzregel gemacht. Jedoch - wie schon von mathos erwähnt - kann man wenn man etwas geübt in der Integration durch Substitution ist und somit sieht, dass dz=dx wegen der linearen (inneren) Funktion gelten muss, schon direkt eine mögliche Stammfunktion angeben. Bei solch elementaren Funktion ist das auch Gang und Gebe, dass Professoren bzw Dozenten da jetzt nicht noch extra die Zwischenschritte angeben. Gruß Björn |
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Hallo! Auch noch so spät im Forum :-) ? Mag sein, dass ich das falsch verstanden habe, aber für mich klang es so, als würde Marky der Substitution nicht so recht trauen und wollte lieber die binomische Formel anwenden. Außerdem schreibt er ja, dass er das Ergebnis seiner Dozentin für falsch hält und wegen der richtigen Methode verunsichert ist. Unter diesen Umständen kann es sicher nicht schaden, beide Methoden mal etwas näher zu beleuchten. Das mit den fehlenden Zwischenschritten in Vorlesungen stimmt natürlich, doch ich hatte das Gefühl, dass genau diese fehlenden Zwischenschritte Markys Problem sind. Deshalb die ausführliche Antwort. Doch das alles ist ja auch gar nicht so wichtig, wichtig ist nur, dass das Problem gelöst wurde, was durch unsere Beiträge hoffentlich der Fall ist. Grüße und die besten Wünsche fürs neue Jahr Heinz |
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Ja, bin leider krank dank unserer nicht funktionierenden Heizung, deswegen ist es am PC noch am Wärmsten ;-) Was er genau für falsch hält kann man natürlich mehrfach deuten, nichtsdestotrotz ist dein Beitrag natürlich lesenswert und sehr ausführlich ausgefallen. Dir auch alles Gute für das neue Jahr =) Björn |
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Tut mir wirklich leid zu lesen, dass dich eine offenbar heftige Erkältung erwischt hat. Ich hoffe, es geht dir bald wieder besser. Nochmals Grüße und wahrscheinlich bis bald hier im Forum :-). Heinz |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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