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Integrierbarkeit.

Universität / Fachhochschule

Tags: Integral

schalkeboy aktiv_icon

01:46 Uhr, 23.04.2016

1)

Satz: Jede Monotone Funktion

f : [a, b]

ist integrierbar auf

[a, b]

Nun meine Frage, gibt es auch nicht monotone Funktionen die integrierbar sind??
Wenn ja habt ihr mir auch Beispiele dazu

2)Jede auf

[a, b]

stetige Funktion ist integrierbar auf

[a, b]

.

Gibt es auch unstetige Funktionen die integrierbar sind?
Wenn ja welche Beispiele gibt es?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

01:59 Uhr, 23.04.2016

Hallo,

"Nun meine Frage, gibt es auch nicht monotone Funktionen die integrierbar sind??"

Ja, siehe

2),

denn stetige Funktionen müssen nicht auch monoton sein! Suche Dir doch Beispiele dafür!

"Gibt es auch unstetige Funktionen die integrierbar sind?"

Ja, siehe

1),

denn monotone Funktionen müssen nicht auch stetig sein. Suche Dir doch Beispiele dafür!

schalkeboy aktiv_icon

14:58 Uhr, 23.04.2016

1)

Nicht Monoton, aber stetige funktion.

also ich habe hier an . konstante funktionen gedacht.

f (x) = c

nicht monoton aber stetig.
passt das?

2)

Nicht stetig, aber monoton.

habe an diese funktion gedacht

f (x) = {x^{2}

für

x \neq 0

und 1 für

x = 0

diese funktion ist unstetig, ist diese funktion auch insgesamt monoton?

die funktion ist ja monoton fallend für

x < 0

und monoton steigend für

x > 0

.
ist die funktion daher insgesamt monoton?

mihisu aktiv_icon

21:31 Uhr, 23.04.2016

Die konstante Funktion gegeben durch

f (x) = c

mit einem

c \in ℝ

ist monoton (allerdings nicht streng monoton). Sie ist zugleich monoton fallend und monoton steigend, denn für alle

x, y \in ℝ

mit

x \leq y

ist

f (x) = c \leq c = f (y)

und auch

f (x) = c \geq c = f (y)

.

\\\\

Die nicht-stetige Funktion, die du bei

2)

gefunden hast wäre eine integrierbare nicht-monotone und nicht-stetige Funktion.

Betrachte

f : [- 1, 1] \to ℝ

mit

f (x) = x^{2}

für

x \neq 0

und mit

f (0) = 1

.

Diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig (bzgl. Standardtopologie), da

lim_{x \to 0} f (x) = 0 \neq 1 = f (0)

ist.

Die Funktion ist auch nicht monoton:
Denn einerseits ist

f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{9} < \frac{1}{4} = f (\frac{1}{2})

mit

\frac{1}{3} < \frac{1}{2},

also ist

f

nicht monoton fallend.
Andererseits ist

f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} > \frac{1}{9} = f (- \frac{1}{3})

mit

- \frac{1}{2} < - \frac{1}{3},

also ist

f

nicht monoton steigend.

Jedoch ist die Funktion integrierbar auf

[- 1, 1]

mit Integralwert

\frac{2}{3}

.
(Naja, sie ist Riemann- bzw. Lebesque-integrierbar mit dem entsprechenden Integralwert

\frac{2}{3}

. Natürlich könnte man sich auch irgendein anderes Maß suchen. Aber soweit soll das hier bestimmt nicht getrieben werden.)

Bummerang

22:05 Uhr, 23.04.2016

Hallo,

ich hätte da mal zwei einfache Funktionen zu bieten, die im Intervall

[- 1; 1]

entweder monoton aber nicht stetig bzw. stetig aber nicht monoton sind:

f_{1} (x) = \frac{{sin}^{2} (x)}{x}

f_{2} (x) = cos (x)

schalkeboy aktiv_icon

21:13 Uhr, 24.04.2016

dankeschön.

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