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Jordan-Inhalt bestimmen

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Integral, Jordan-Inhalt, Maßtheorie

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21:06 Uhr, 23.03.2019

Jordan-Inhalt bestimmen:

J_{4} (M)

für

M = {(x, y, z, w) \in ℝ^{4} : 0 \leq w \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1}

Kann mir jemand sagen, wie man das angehen soll bzw wie man sowas allgemein berechnet? Wir hatten in der Vorlesung ein Beispiel zu dem Thema, was ich aber nicht verstehe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

11:13 Uhr, 24.03.2019

Hallo,

wenn nichts weiter gesagt / verlangt ist, würde man das Integral der konstanten Funktion 1 über die Menge

M

berechnen.

Ob hier im Zusammenhang mit Eurer Vorlesung etwas anderes verlangt / erwartet ist, weiß ich nicht.

Gruß pwm

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13:44 Uhr, 24.03.2019

Ja, aber von wo bis wo gehen die Integrale dann? Ich zeig dir mal den Satz bzw ein Beispiel, das wir in der Vorlesung gemacht haben. Wenn du mir meine Frage anhand dem Beispiel erklären könntest, wär es super!

pwmeyer aktiv_icon

18:59 Uhr, 24.03.2019

Hallo,

Du kannst für A die Einheitskugel im

ℝ^{3}

nehmen,

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1

und

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

und

g (x, y, z) = 0

.

Also ist zu berechnen:

\int_{A} [(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 0] d (x, y, z)

Für das Integral über die Kugel würde man jetzt Kugelkoordinaten nehmen. Falls Ihr die noch nicht besprochen habt, dann eben über die Darstellung als Zylindermenge.

Gruß pwm

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20:05 Uhr, 24.03.2019

Ok, also warum

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

und

g (x, y, z) = 0

ist, verstehe ich jetzt. Wie kommst du auf die Einheitskugel im

ℝ^{3}

? Vermutlich weil 0 als unterer Randpunkt und 1 als oberer Randpunkt gegeben sind oder?

Zu der Berechnung mit Zylindermenge: ich kann hier mit der Definition aus unserem Skript auch nicht viel anfangen. Wie würde in diesem Fall dann das

B, φ (u)

und

ψ (u)

lauten und wie kommt man auf das?

pwmeyer aktiv_icon

11:40 Uhr, 25.03.2019

Hallo,

das müsste ja in zwei Stufen bearbeitet werden:

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 \Leftrightarrow

x^{2} + y^{2} \leq 1

und

- \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \leq z \leq \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

GRundfläche wäre also ein Kreis, der dann nochmals wie in Deinem Beispiel aufgelöst werden müsste.

Bist Du sicher, dass Ihr das nur so machen könnt. Kugelkoordinaten sind noch nicht besprochen?

Gruß pwm

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17:29 Uhr, 25.03.2019

Ok, passt. Diese Vorgehensweise hab ich nun verstanden denke ich.

Mit Kugelkoordinaten kenne ich das nicht, wie würde das gehen?

pwmeyer aktiv_icon

08:00 Uhr, 26.03.2019

Hallo,

das lässt sich nicht so kurz beschreiben. Dazu brauchst Du Infos über die Transformationsregel für mehrdimensionale Integrale und eben Kugelkoordinaten - siehe Wikipedia

Gruß pwm

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13:36 Uhr, 26.03.2019

Ok, trotzdem vielen Dank!

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