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Konsistenz rund um Gabriels Horn

Universität / Fachhochschule

Tags: Gabriels, Horn, Integral, Rotationsvolumen, Torricelli

 
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BobbySonic

BobbySonic aktiv_icon

16:16 Uhr, 04.04.2021

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Beim bekannten Sachverhalt von Gabriels Horn (Torricellis Trompete)geht es um die Hyperbel als Rotationskörper. Bei Betrachtung von 1 gegen Unendlich hat der Inhalt des Rotationskörpers ein finites Volumen, hingegen ist die Oberfläche unendlich.
Das erscheint widersinnig, ist aber wohl so (Referenz: Taschner, "Gabriels Posaune").
Das Uneigentliche Integral der Hyperbel von 1 gegen Unendlich ist - wie ich gelesen habe - von unendlich großer Fläche.
Bei der Bildung des Rotationsvolumens zu diesem Integral wird demnach das Rotationsvolumen(Inhalt der Trompete) aber wiederum endlich groß.

a) Ist die Schilderung so richtig?
b) Gibt es dazu eine verständliche Deutung, die besser ist als "es ist nicht intuitiv"?




Gabriel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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ledum

ledum aktiv_icon

17:13 Uhr, 04.04.2021

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Hallo
nimm 2 Würfel mit Volumen 1m3
den ersten legst du hin, den zweiten halbierst du und legst ihn daneben, die restliche Hälfte wieder halbieren und daneben legen, dasselbe immer mit dem Rest, das gibt eine unendliche "Schlange" von Quadern, der Höhe 1,12,1/4,18...12n aber da du mit 2 Quadern angefangen hast ist das Volumen immer noch 2m3. die Oberfläche ist aber immer mindesten von jedem der immer dünneren Quadern noch 2m2
und dass bis zum n ten Quader n2m2 mit wachsendem n also gegen
ist das anschaulich genug? jetzt ist das Horn zwar etwas stufig aber wenigstens anschaulich.
Gruß ledum
BobbySonic

BobbySonic aktiv_icon

19:19 Uhr, 07.04.2021

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Das ist wirkich eine sehr schöne, verständliche Analogie, die viel her gibt. Mal ein paar Tage sacken lassen.
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ledum

ledum aktiv_icon

12:15 Uhr, 08.04.2021

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Und dann bitte abhaken!
Gruß ledum
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