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Konvergenz einer Zahlenfolge beweisen/ widerlegen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, Wurzel, Zahlenfolgen

Mai05 aktiv_icon

16:02 Uhr, 11.12.2020

Hallo,

folgende, im Bild zu sehende Zahlenfolge soll ich auf Konvergenz prüfen. Dafür habe ich als Hinweis folgenden Satz:
Wenn (an), (bn), (cn) Zahlenfolgen mit an

\leq

\leq

cn für alle

n \geq

No
Dann gilt: Wenn an

\to a

und cn

\to a

für

n \to

unendlich, dann bn

\to a

für

n \to

unendlich.

Allerdings weiß ich überhaupt nicht, wie ich das auf die gegebene Zahlenfolge anwenden soll, ich kann die Wurzel ja nicht in ein an und ein dn auseinanderschreiben, sodass
an

\leq

\leq

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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16:07 Uhr, 11.12.2020

Nutze

3^{n} + 4^{n} = 4^{n} (1 + (\frac{3}{4})^{n})

rundblick aktiv_icon

16:09 Uhr, 11.12.2020

gelöscht

Mai05 aktiv_icon

16:31 Uhr, 11.12.2020

Ich würde dann für an das gleiche wie dn nehmen, nur statt 4 die 3 einsetzen

Ich habe dazu auch schon eine Wertetabelle erstellt um zu zeigen, dass an

<

<

dn

Jetzt muss ich aber zeigen, dass sowohl an als auch dn konvergent sind und den gleichen Grenzwert haben.

Dafür würde ich jetzt wie im Bild zu sehen vorgehen, bleibe dann aber beim Beweisen der Konvergenz von an hängen (ich hoffe bis dahin stimmt das überhaupt)

DrBoogie aktiv_icon

16:35 Uhr, 11.12.2020

"Jetzt muss ich aber zeigen, dass sowohl an als auch dn konvergent sind und den gleichen Grenzwert haben."

Wie willst du das denn zeigen, wenn du schon de fakto gezeigt hast, dass

a_{n}

und

d_{n}

unterschiedliche Grenzwerte haben? :-O

a_{n} \to 3

und

d_{n} \to 4

.
Also, leider bringt dir deine Idee nichts.
Daher kuck, was ich als Ansatz vorgeschlagen habe.

supporter aktiv_icon

16:43 Uhr, 11.12.2020

4^{n}

wächst stärker als

3^{n} d . h

. man kann

3^{n}

vernachlässigen,

- \to {(4^{n})}^{\frac{1}{n}} = 4^{n \cdot \frac{1}{n}} = 4^{1} = 4 - \to lim = 4

Mai05 aktiv_icon

17:24 Uhr, 11.12.2020

Also wenn ich den Ansatz nutze, dann komme ich auf das was im Bild zu sehen ist.

Da würde sich doch jetzt an beiden Stellen die n-te Wurzel mit

n

als Exponent wegkürzen, sodass nur

4 \cdot (1 + (\frac{3}{4}))

bleibt und das wäre ja 7.

Aber das ist ja nicht der Grenzwert von cn, oder habe ich da was falsch umgestellt?

DrBoogie aktiv_icon

17:45 Uhr, 11.12.2020

"Da würde sich doch jetzt an beiden Stellen die n-te Wurzel mit n als Exponent wegkürzen,"

Nein, das ist nicht zulässig.

\sqrt[n]{1 + (3 / 4)^{n}} \neq 1 + 3 / 4

Richtig wäre so:

1 \leq \sqrt[n]{1 + (3 / 4)^{n}} \leq 1 + (3 / 4)^{n}

und

1 + (3 / 4)^{n} \to 1

, damit auch

\sqrt[n]{1 + (3 / 4)^{n}} \to 1

Mai05 aktiv_icon

18:00 Uhr, 11.12.2020

Okay das verstehe ich nicht ganz.
Wo ist plötzlich aus der n-ten Wurzel aus 4 hoch n geworden bzw. wo ist die 4 hin?

Und warum sind dann plötzlich die Wurzeln weg?

DrBoogie aktiv_icon

18:14 Uhr, 11.12.2020

"Wo ist plötzlich aus der n-ten Wurzel aus 4 hoch n geworden bzw. wo ist die 4 hin?"

Ich hab es weggelassen. Was ich geschrieben habe, ist nur ein Teil der Lösung.
Du hast ja

4 \cdot \sqrt[n]{1 + (3 / 4)^{n}}

und wenn du zeigst, dass

\sqrt[n]{1 + (3 / 4)^{n}} \to 1

, dann folgt sofort dass

4 \cdot \sqrt[n]{1 + (3 / 4)^{n}} \to 4

.

"Und warum sind dann plötzlich die Wurzeln weg?"

Nichts ist weg. Ich nutze eine Abschätzung:

\sqrt[n]{1 + (3 / 4)^{n}} \leq (1 + (3 / 4)^{n})

. Und weiter nutze ich, dass die rechte Seite gegen

1

konvergiert.

Mai05 aktiv_icon

18:35 Uhr, 11.12.2020

Dankeschön, ich habe noch eine Zahlenfolge, bei der ich nicht genau weiß wie ich vorgehen soll bzw. ob ich bisher richtig vorgegangen bin.

Wir hatten als Übung wieder eine sehr ähnliche Zahlenfolge an der ich mich orientiert habe, aber ab "zu beweisen ist" weiß ich nicht, was wir genau in der Übung gemacht haben und wie ich weiter machen muss.
Ich weiß noch, dass wir im Laufe des Beweises eine vollständige Induktion genutzt haben, deshalb habe ich versucht das auch bei dieser Zahlenfolge zu machen, aber ich glaube ohne Erfolg.

Wie müsste ich ab "zu beweisen ist" weitermachen?

ermanus aktiv_icon

18:42 Uhr, 11.12.2020

Hallo,
darf ich auch noch eine Idee zur ersten Fragestellung einbringen?
Es ist ja das "Quetschlemma" als Vorspann genannt worden.
Daher:

4^{n} \leq 3^{n} + 4^{n} \leq 2 \cdot 4^{n}

.
Gruß ermanus

DrBoogie aktiv_icon

19:23 Uhr, 11.12.2020

1.Fall

d_{0} \in [0, 1 / 2]

.
Dann haben erstens, alle

d_{n} \geq 0

- offensichtlich.
Zweitens,

d_{n} \leq 1 / 2

für alle

n

. Beweis per Induktion:

d_{n} \leq 1 / 2

d_{n + 1} = 1 / 4 + d_{n}^{2} \leq 1 / 4 + (1 / 2)^{2} = 1 / 2

.
Drittens,

d_{n + 1} - d_{n} = 1 / 4 + d_{n}^{2} - d_{n} = (d_{n} - 1 / 2)^{2} \geq 0

d_{n}

ist monoton steigend.
Eine beschränkte monotone Folge hat einen Grenzwert.

2.Fall

d_{0} > 1 / 2

. Sei

a = d_{0} - 1 / 2

.
Dann haben

d_{n} \geq 1 / 2 + a = d_{0}

für alle

n

. Praktisch derselbe Beweis per Induktion:

d_{n} \geq 1 / 2 + a

d_{n + 1} = 1 / 4 + d_{n}^{2} \geq 1 / 4 + (1 / 2 + a)^{2} = 1 / 4 + 1 / 4 + a + a^{2} \geq 1 / 2 + a

.
Dann aber

d_{n + 1} - d_{n} = 1 / 4 + d_{n}^{2} - d_{n} = (d_{n} - 1 / 2)^{2} \geq a^{2}

.
Damit

d_{n} = d_{n} - d_{n - 1} + d_{n - 1} - d_{n - 2} + . . . + d_{1} - d_{0} \geq n a^{2} \to + \infty

.

Eine coole Aufgabe. :-)

Mai05 aktiv_icon

11:09 Uhr, 12.12.2020

Danke schonmal für die Hilfe, ich möchte nur sicher gehen, dass ich alles richtig verstanden habe (besonders wie die Induktion in diesem Fall aussieht, deshalb hab ich das nochmal mit IA, IV und IS aufgeschrieben. Beim zweiten Fall war ich mir allerdings nicht sicher, was genau der IA ist und was der IS

Ist das richtig?

DrBoogie aktiv_icon

11:10 Uhr, 12.12.2020

Warum schreibst du

d_{0} = 0

? Das ist doch gar nicht gegeben.

Ansonsten ist wieder dein altes Problem zu sehen: zu wenige Worte, zu viele Symbole, die du dann auch wieder falsch verwendest. So wie du es schreibst, ist es im Endeffekt einfach sinnlos.
Du kannst z.B. nicht

\forall d_{0}

schreiben und am Ende "für gewisses

d_{0}

", das widerspricht sich. Und überhaupt

\forall d_{0}

ist da fehl am Platze.

Mai05 aktiv_icon

11:17 Uhr, 12.12.2020

0 <= d0 <= 1/2

Ich dachte da kann ich als Induktionsanfang d0=0 nehmen, weil d0 ja >= 0 sein soll, damit ist die 0 ja mit drin

DrBoogie aktiv_icon

11:22 Uhr, 12.12.2020

"Ich dachte da kann ich als Induktionsanfang d0=0 nehmen, weil d0 ja >= 0 sein soll, damit ist die 0 ja mit drin"

Dann versteht du die Idee der Induktion nicht.
Induktion geht nur über natürliche Zahlen.

d_{0}

hat dagegen Werte zwischen

0

und

1 / 2

in deinem Fall. Außerdem wollen wir nicht eine Aussage über

d_{0}

, sondern eine Aussage über alle

d_{n}

beweisen. Und über diese natürliche Zahlen

n

, die als Indizes dienen, geht die Induktion.

Mai05 aktiv_icon

11:25 Uhr, 12.12.2020

Aber was muss ich dann als Induktionsanfang nehmen?

DrBoogie aktiv_icon

11:27 Uhr, 12.12.2020

Wir beweisen:

0 \leq d_{n} \leq 1 / 2

für alle

n

.
Der IA ist dann natürlich

0 \leq d_{0} \leq 1 / 2

Mai05 aktiv_icon

11:30 Uhr, 12.12.2020

Aber wenn ich das für 0 <= do <= 1/2 beweisen soll, dann habe ich das doch schon mit dem IA bewiesen, oder ? Ist dann ein IS überhaupt noch notwendig?

DrBoogie aktiv_icon

11:34 Uhr, 12.12.2020

"Aber wenn ich das für 0 <= do <= 1/2 beweisen soll, dann habe ich das doch schon mit dem IA bewiesen, oder ?"

Erklär mir bitte, wie die Tatsache, dass

0 < = d_{0} < = 1 / 2

gilt, ohne IS beweisen soll, dass

0 < = d_{n} < = 1 / 2

für alle

n

gilt? Ich kann dir nicht folgen.

Mai05 aktiv_icon

11:40 Uhr, 12.12.2020

Bei mir sieht das halt jetzt so aus, aber das sagt doch eigentlich alles nur das gleiche aus

DrBoogie aktiv_icon

11:58 Uhr, 12.12.2020

Bei dir sieht es halt falsch aus. Bzw. es sieht nicht einfach falsch aus, es sieht wie ein wirres Zeug aus, tut mir leid. Ich weiß nicht, wie oft ich wiederholen muss, dass du mehr Worte und weniger Symbole schreiben musst. Du wirst irgendwann auch Beweise in Symbolsprache führen können. Wenn du diese Sprache verstehen wirst. Aktuell ist es definitiv nicht der Fall.

Schreibe mit Worten. "Wir beweisen jetzt die Aussage ... mit vollständigen Induktion. Die Induktionsannahme ist .... Sie gilt, weil... Jetzt machen wir Induktionsschritt." Usw. Mit Begründungen. Die du auch selbst verstehst. Es hilft doch keinen, wenn du ein Symbolsalat schreibst, den niemand versteht, dich inklusive.

Mai05 aktiv_icon

12:00 Uhr, 12.12.2020

Das Problem ist, dass ich überhaupt nicht weiß, was ich in diesem Fall als Induktionsschritt nehmen soll

DrBoogie aktiv_icon

12:02 Uhr, 12.12.2020

Induktionsschritt ist (sehr grob gesagt): nimm die Aussage für

n

und zeige, dass daraus die Aussage für

n + 1

gilt.
Die Rechnung dafür ist schon da. Du musst nur verstehen, dass es wirklich IS ist.
Das kann leider niemand für dich machen.

Mai05 aktiv_icon

12:22 Uhr, 12.12.2020

Okay danke,
ich glaube so eine grobe Formulierung habe ich gerade nochmal gebraucht, zumindest macht es jetzt auch für mich mehr Sinn

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