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Kugelkoordinaten-Integral

Universität / Fachhochschule

Tags: Integral, Kugelkoordinaten

Maxime aktiv_icon

22:11 Uhr, 15.08.2016

Hallo,

Ich soll ein Integral über eine Einheitskugelachtel berechnen bzw. dabei Kugelkoordinaten verwenden (siehe Bild

1)

. Aus dem Skript habe ich folgendes herausgefunden (siehe Bild

2)

.

Die Berechnung an sich ist mir im Klaren und Lösung sind auch vorhanden, was ich jedoch nicht verstehen kann, ist folgender Teil (siehe Bild

3)

.

Im Skript habe ich den internationalen Konsens für meine Kugelkoordinaten, während ich in der Lösung einen anderen Konsens verwende.

Meine erste Frage wäre deshalb:

Wann verwende ich welchen Konsens oder ist das egal? Falls es egal ist, unter welchen Bedingungen ist welcher Konsens geeigneter?

Meine zweite Frage hingegen bezieht sich auf das T. Ich kann nämlich nicht nachvollziehen, wie ich dort auf

T := [0,1] X [0, \frac{Π}{2}] X [0, \frac{Π}{2}]

komme.

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

23:02 Uhr, 15.08.2016

Hallo,

> Wann verwende ich welchen Konsens oder ist das egal? Falls es egal ist, unter welchen Bedingungen ist welcher
> Konsens geeigneter?

Was ist mit "Konsens" gemeint? Die Definitionsmenge für die Winkel? Falls ja, so ist es im Grunde egal. Ob sich jetzt eine Variante besser eignet als die andere, hab ich nicht nachgerechnet.

> eine zweite Frage hingegen bezieht sich auf das T. Ich kann nämlich nicht nachvollziehen, wie ich dort auf
> T:=[0,1]X[0,Π2]X[0,Π2] komme.

Ich denke, dass dir dazu ein ausgiebiges Studium der Kugelkoordinaten weiterhelfen sollte.
Du findest derlei etwa auf wikipedia (sogar mit gut erläuternder Zeichnung): de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Definition

Mfg Michael

Maxime aktiv_icon

16:57 Uhr, 16.08.2016

"Was ist mit "Konsens" gemeint? Die Definitionsmenge für die Winkel? Falls ja, so ist es im Grunde egal."

Genau das war gemeint, danke.

"Ich denke, dass dir dazu ein ausgiebiges Studium der Kugelkoordinaten weiterhelfen sollte"

Da fängt ja mein Problem an. Laut Wikipedia und dem Skript verläuft mein

θ

von

[0, Π]

und mein

Φ

von

[0,2 Π)

bzw. von

[- Π, Π]

. Laut den Lösungen verlaufen meine Parameter aber über andere Werte.

Ist das jetzt spezifisch für die Version aus der Lösung oder hat das eine andere Ursache?

Das Integral von 0 bis 1 für dr war hingegen per Definition so, falls ich das nicht falsch verstanden habe.

Im Skript steht halt noch, dass

θ = \frac{Π}{2}

für den Äquator wäre bzw. bei anderen Büchern

θ

von

[- \frac{Π}{2}, \frac{Π}{2}]

verläuft, was jedoch nicht meinen Verlauf für

Φ

erklären würde und auch nicht, warum mein

θ

von 0 bis

\frac{Π}{2}

verläuft.

Roman-22

17:18 Uhr, 16.08.2016

Ich verstehe deine Verwirrung nicht ganz.
Deine Lösung verwendet doch genau die gleiche Konvention wie jene, die bei Tante Wiki Verwendung findet.

Die Grenzen bei

T

ergeben sich dadurch anders, weil du laut Angabe ja nur

\frac{1}{8}

des Kugelvolumens berechnen sollst, nämlich für das Achtel der Kugel, für das

x, y, z \geq 0

gilt.
Dann nimm dir doch die Zeichnung bei Wiki her und überlege, in welchen Bereichen für diesen Teil der Kugel die Koordinaten

r, θ

und

φ

gewählt werden müssen.

R

Maxime aktiv_icon

18:41 Uhr, 16.08.2016

"Deine Lösung verwendet doch genau die gleiche Konvention wie jene, die bei Tante Wiki Verwendung findet."

Stimmt. Mein Fehler. Ich habe die Konvention aus dem Skript und die aus der Lösung verwechselt gehabt.

"Dann nimm dir doch die Zeichnung bei Wiki her und überlege, in welchen Bereichen für diesen Teil der Kugel die Koordinaten

r

,θ und φ gewählt werden müssen."

Die Koordinaten müssten doch im weißen Bereich liegen (bezüglich der Skizze aus Wiki).

Mein Winkel

θ

müsste zwischen 0 und 90° liegen.

Mein Winkel

φ

ebenfalls zwischen 0 und 90°.

Für

θ

hätte ich dann 0 bis

π

für mein Integral laut Wiki.

Für

φ

hätte ich

- π

bis

π

bzw. 0 bis 2pi.

Ich habe aber laut Lösung komplett andere Werte für mein Integral.

Wie bringt mich das weiter?

EDIT: Kann es sein, dass 0 bis

π

nur für einen Winkel von 0 bis 180° verwendet wird und die Hälfte (90°) zur Folge hat, dass auch die Grenzen von 0 bis

π

auf 0 bis

\frac{π}{2}

gekürzt werden?

EDIT 2: Für

Φ

gilt 0 bis

2 π

ja für den Winkel von 0 bis 360°. Da ich den Bereich betrachte mit

\frac{1}{4}

des Winkels von 360° folgt für

φ : \frac{0}{4}

bis 2pi/4 bzw. 0 bis

\frac{π}{2}

.

Ist das soweit richtig?

Roman-22

23:57 Uhr, 16.08.2016

>

Mein Winkel θ müsste zwischen 0 und 90° liegen.

>

Mein Winkel φ ebenfalls zwischen 0 und 90°.
Völlig richtig!
Und ganz genau das steht doch auch unter

T := ...

r \in [0; 1]

φ \in [0; \frac{π}{2}]

θ \in [0; \frac{π}{2}]

Wo ist also das Problem? Oder ist dir nicht klar, dass 90° im Bogenmaß gemessen

\frac{π}{2}

sind?

>

Für θ hätte ich dann 0 bis π für mein Integral laut Wiki.

>

Für φ hätte ich -π bis π bzw. 0 bis 2pi.
Um Gottes Willen wieso denn???
Das gilt doch für die ganze Kugel!
Und die Bereiche für die Achtelkugel hast du vorhin doch gerade richtig genannt.

>

Ich habe aber laut Lösung komplett andere Werte für mein Integral.
Ja, eben die, die du in deiner letzten Antwort anfangs ohnedies selbst herausgefunden hast.

>

EDIT: Kann es sein, dass 0 bis π nur für einen Winkel von 0 bis 180° verwendet wird und die Hälfte (90°) zur Folge hat, dass auch die Grenzen von 0 bis π auf 0 bis π2 gekürzt werden?
???? Na, wenn das gesuchte Volumen so entsteht, dass zB

θ

nur von

\frac{π}{10}

bis

\frac{2 π}{3}

geht, dann wirst du wohl auch nur über diesen Bereich integrieren dürfen, wenn du das richtige Volumen rauskriegen möchtest.

Wenn du von einer Funktion

f

die Fläche zwischen ihrem Graphen und der x-Achse im Bereich von 2 bis 4 bestimmen möchtest, dann integrierst du ja auch nur von 2 bis 4 und nicht von 0 bis

10,

nur weil bei Tante Wiki ein Beispiel angeführt wird, bei dem von 0 bis

10

integriert wird, oder?

>

EDIT 2: Für Φ gilt 0 bis 2π ja für den Winkel von 0 bis 360°. Da ich den Bereich betrachte mit

14

des Winkels von 360° folgt für φ:04 bis 2pi/4 bzw. 0 bis π2.
Kann es wirklich sein, dass du noch Probleme mit Gradmaß vs Bogenmaß hattest/hast?

R

Maxime aktiv_icon

12:49 Uhr, 17.08.2016

Nein, es ist schon soweit alles verstanden. Bei meinem letzten Post sollte nur der Teil mit "EDIT" betrachtet werden und da hatte ich versucht, mein Bogenmaß über mein Gradmaß zu erklären, was aber bei beidem auf dasselbe hinaus kommt, nur unglücklich formuliert.

Im Endeffekt gilt jedoch ja nur:

θ

von 0 bis

π

gilt nur für den Winkel von 0 bis 180°. Da mein

θ

mit

\frac{1}{8}

der Kugelkoordinate nur einen maximalen Winkel von 90° haben kann (da Bedingung:

x, y, z

größer-gleich

0)

wird entsprechend auch mein Bogenmaß um die Hälfte gekürzt. Sprich 0 bis

\frac{π}{2}

. Das wollte ich mit meinem letzten Post sagen.

Äquivalent dazu ist das

φ

.

Ich bedanke mich vielmals für die Hilfe. Ich denke, es ist soweit alles klar.

Roman-22

12:55 Uhr, 17.08.2016

>

θ von 0 bis π gilt nur für den Winkel von 0 bis 180°
Ich weiß nicht, was das heißen soll!

θ = π

bedeutet genau das gleiche wie

θ = 90^{\circ},

so wie

d = 0,5 m

genau das gleiche wie d=50cm bedeutet. Das hat nix mit irgend einer "Gültigkeit" zu tun.
Bogenmaß(rad) und Altgrad(deg) sind einfach nur unterschiedliche Einheiten in denen man Winkel angeben kann.

R

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