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Kurvenintegral in 3 Dimensionen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral, Integration, Kurve, Kurvenintegral, mehrdimensionales Integral

techniker123

14:55 Uhr, 18.03.2012

Hallo Zusammen!

Ich sitze hier vor einem Beispiel und denke (hoffe), dass ich es richtig gelöst habe, bin mir aber nicht unbedingt sicher und wollte mal nachfragen, ob ich das so richtig mache.

(konnte das symbol für geschl. Kurvenintegral nicht finden, also nehme ich das normale Integral)
Es is das geschl. Kurvenintegral

\int_{C} 2 x y d x + x^{2} d y + (1 + x - z) d z

über die Kurve

C

zu berechnen, wobei

C

die Schnittkurve der 2 Flächen

z = x^{2} + y^{2}

und

2 x + 2 y + z = 7

ist.

C

wird vom Ursprung aus im Uhrzeigersinn durchlaufen.

Mein Ansatz:

Ich habe erst mal die Schnittkurve (versucht) zu berechnen, indem ich die beiden Gleichungen gleichsetze.

\to z - x^{2} - y^{2} = 2 x + 2 y + z

oder anders geschrieben:

x^{2} + y^{2} - 2 (x + y) = 0

\to

Kreis um den Mittelpunkt

(- 1, - 1)

mit dem Radius 3 (mit Hilfe von WolframAlpha ;-))

Also Parametrisiere ich diesen Kreis zur leichteren Berechnung:

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 cos (t) - 1 \\ 3 sin (t) - 1 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

\vec{x'} = (\begin{matrix} - 3 sin (t) - 1 \\ 3 cos (t) - 1 \\ 0 \end{matrix})

Dann eben ins Integral eingesetzt, integriert, kommt raus

= 0

.

Dann meine Vermutung: es ist ein wegunabhängiges Kurvenintegral, also ein Wirbelfreies Vektorfeld.

\to

Ich berechne mal die Rotation von

\vec{V} :

rot

(\vec{V}) = \nabla \times \vec{V}

und das ist

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}),

müsste jedoch

\vec{0}

sein, um wirbelfrei zu sein.

Jetzt stellt sich mir dir Frage, wo mein Fehler liegt.

Komisch kommt mir auch noch vor, dass ich bei der Berechnung der Schnittkurve abhängig von der Gleichsetzung

z

rauskürzen kann oder nicht:

z - x^{2} - y^{2} = 2 x + 2 y + z \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 (x + y) = 0

bzw.

- z + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y + z \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 2 (x + y) - 2 z = 0

.

Was mache ich falsch?!

Vielen Danke schon mal!!!

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Paulus

17:07 Uhr, 18.03.2012

Hallo Techniker

es ist zwar schon ine Weile her, dass ich das gemacht habe. Ich will trotzdem eine kleine Bemerkung machen: Wo ist die 7 aus deiner Ebenengleichung geblieben?

Nach mir sähe es etwa so aus:

z = x^{2} + y^{2}

2 x + 2 y + z = 7

Da hätte ich einfach mal die obere Gleichung in die untere eingesetzt:

2 x + 2 y + x^{2} + y^{2} = 7

Dann

x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} + 2 y + 1 = 9

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9

Ein Kreis (Zylindr) mit Radius 3 und Ursprung

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix})

Damit hätte ich den Ansatz

x = - 1 + 3 \cdot cos (t)

und

y = - 1 + 3 \cdot sin (t)

gemacht

Dies dann in der Ebenengleichung eingesetzt führt zu:

x = - 1 + 3 \cdot cos (t)

y = - 1 + 3 \cdot sin (t)

z = 11 - 6 \cdot cos (t) - 6 \cdot sin (t)

Ich denke, mit diesem Ansatz solltest du ein Stück weiter kommen.

Natürlich müsste dann das Integral in den Grenzen

0 \leq t < 2 \cdot π

berechnet werden

Hiweis: meine Berechnungen sind kritisch zu überprüfen, weil ich das ohne Hilfsmittel gemacht habe und meine Rechenkünste nicht die besten sind.

Gruss

Paul

Rabanus aktiv_icon

17:42 Uhr, 18.03.2012

Weitere Anmerkung (bzw. Fehler) :

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 cos (t) - 1 \\ 3 sin (t) - 1 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

\frac{d \vec{x}}{d t} \neq (\begin{matrix} - 3 sin (t) - 1 \\ 3 cos (t) - 1 \\ 0 \end{matrix})

techniker123

17:47 Uhr, 18.03.2012

Ja, natürlich... Strg+C und Strg+V Fehler... :-) Das

- 1

fällt weg...
Und den 7er hab ich auch vergessen...

Aber warum fällt bei der Kurvengleichung einmal das

z

weg und einmal nicht? Das verstehe ich nicht?

Paulus

17:57 Uhr, 18.03.2012

Wo fällt es denn weg, und wo nicht?

z = x^{2} + y^{2}

ist doch ein Rotationsparaboloid. Und das wird mit der gegebenen Ebene geschnitten.

Die Schnittlinie ist halt eben die gleiche, wie wenn du das Rotationsparaboloid mit dem Zylinder

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9

schneidest. (Oder den Zylinder mit der Ebene)

Das

z

ist nicht wirklich weg, es fällt nur nicht ins Gewicht,

d . h

. die Gleichung gilt für ALLE

z

gleichermassen, weshalb es sich ja auch um einen Zylinder handelt.

Du kannst es in deinem Beispiel auch so sehen: Wenn man die Schnittkurve parallel zur z-Achse auf die xy-Ebene projiziert, dann entsteht ein Kreis.

Gruss

Paul

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