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Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen
Schüler , 13. Klassenstufe
Tags: Ebene, Schnittpunkt, xy-ebene
 
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Hallo, ich schreibe bald eine Klausur und bin grad am wiederholen, hänge aber an einer Aufgabe. Zunächst ist folgenedes gegeben: und und die Ebene Die Aufgaben lauten: In welchen Punkt schneidet die Gerade durch und die y-z-Ebene? Schneiden sich die Ebene und die x-y-Ebene? Meine Ansätze: Die Gerdae wäre ja Nun weiß ich nicht, wie man die y-z-Ebene aufstellt. Das bedeutet doch dass sein muss, aber ich weiß nicht wie ich daraus eine Ebene aufstellen soll. In dieser Teilaufgaben liegt das Problem auch darin, dass ich nicht weiß, wie ich eine x-y-Ebne aufstellen soll. Ich bedanke mich schon mal im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Schnittpunkte bestimmen Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Abstand Punkt Ebene Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme Abstand Punkt Ebene Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) |
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"Nun weiß ich nicht, wie man die y-z-Ebene aufstellt. Das bedeutet doch dass sein muss, aber ich weiß nicht wie ich daraus eine Ebene aufstellen soll." na ja: die Gleichung ist doch schon die (Koordinaten-) Gleichung der y-z-Ebene .. allgemeine Ebenengleichung: ax+by+cz wie sind die Parameter zu wählen, damit du alle Punkte des Raumes bekommst,die solche Koordinaten haben: für beliebige und oder so: ist ein Normalenvektor zur y-z-Ebene .. usw.. also.. |
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Das heißt ich muss die Ebene einfach in einsetzen? |
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"Das heißt ich muss die Ebene einfach in einsetzen?" ? wie meinst du denn das?? welche Ebene willst du wo einsetzen?? |
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Nun wie bereits gesagt gilt in der gesamten yz-Ebene . Andererseits kann man sich vorstellen, dass die yz-Ebene von den entsprechenden Einheitsvektoren und aufgespannt wird. Es ist also |
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@ whyn0t vergiss den Quatsch .. bei einer Gleichung sollte links und rechts vom "=" wohl Gleiches stehen - oder? also : E_yz ist kein Vektor - rechts stehen aber Vektoren.. |
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Du hast recht Vektorpfeil ergänzt ;-) |
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"Du hast recht Vektorpfeil ergänzt" schon besser .. ABER: Eine Ebene ist doch KEIN Vektor oder? hm..? |
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nun die Gleichung beschreibt jeden Punkt der Ebene in Form ihres Ortsvektors und lässt sich selbstverständlich über das Vektorprodukt in Koordinatenform umrechnen. Abgesehen davon kann eine Ebene durchaus durch einen Vektor, ihren Normalenvektor, beschrieben werden. |
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nun die Gleichung beschreibt jeden Punkt der Ebene in Form des zugehörigen Ortsvektors und lässt sich selbstverständlich über das Vektorprodukt in Koordinatenform umrechnen. Abgesehen davon kann eine Ebene durchaus durch einen Vektor, ihren Normalenvektor, beschrieben werden. |
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Und wie würde jetzt eine Ebenengleichung in Parameterform in der y-z-Ebene aussehen? Welchen Punkt nehme ich als Aufpunkt? |
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@ whyn0t : nochmal: vergiss es .. |
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Liebe shiri Du kannst in deiner Geradengleichung schauen, für welchen Parameter wird. Und mit diesem kannst den und Wert des Schnittpunktes berechen. Wenn ich richtig gerechnet habe kommt der Schnittpunkt heraus  |
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;-) weshalb mathematisch korrekte Dinge vergessen? Die eleganteste Lösung kommt allerdings von Femat. |
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@ Fermat: Danke, jetzt hab ich es verstanden! Jetzt weiß ich nur nicht, wie ich in Teilaufgabe vorgehen soll. |
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@ shiri : warum willst du denn unbedingt die Vektorform? also: zB für deine Aufgabe In welchen Punkt schneidet die Gerade durch und die y-z-Ebene? brauchst du doch nur überlegen , für welches hat die Gerade den x-Wert dh wann liegt ein Punkt einer Geraden in der y-z-Ebene und wenn du dann den passenden Wert von gefunden hast, kannst du damit dann die übrigen Koordinaten des Durchstosspunktes ja berechnen also D(0;?,?) |
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@ rundblick: Das hab ich zwar jetzt verstanden, aber trotzdem würde ich gerne wissen, wie man eine Ebene in Parameterform der y-z-Ebene aufstellt. Für den Fall, dass es in meiner Klausur gefragt werden sollte. |
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Das ist die yz-Ebene in Parameterform. Sie wird von den beiden Einheitsvektoren aufgespannt. |
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" wie man eine Ebene in Parameterform der y-z-Ebene aufstellt." _ fällt dir irgend ein Punkt ein, der in der y-z-Ebene herumliegt? - fallen dir irgend zwei linear unabhängige Vektoren ein, die parallel zur y-z-Ebene sind? ja dann kannst du doch damit eine mögliche Gleichung in Vektorform aufschreiben . @ whyn0t : auch wenn du uneinsichtig bist: von wegen "mathematisch korrkt" da musst du irgendwann aber noch einiges dazulernen ! |
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rundblick........ wie bitte können zwei linear unabhängige Vektoren, die gleichzeitig parallel zu yz-Ebene Verlaufen, also nicht in ihr liegen, diese dann noch aufspannen?! :-) |
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" wie bitte können zwei linear unabhängige Vektoren, die gleichzeitig parallel zu yz-Ebene Verlaufen, also nicht in ihr liegen, diese dann noch aufspannen?!" in welche Klasse gehst du whyn0t ? Beispiel: deine Vektoren und liegen zB nicht in der y-z-Ebene, die können irgendwo im Raum herumliegen, sind linear unabhäng und liegen einfach nur parallel zur y-z-Ebene ( und wenn du willst auch drin, nämlich dann, wenn du sie in einem in dieser Ebene liegenden Punkt ansetzt .. und nebenbei: das muss nicht notwendigerweise im Ursprung als "Aufpunkt" sein ) na ja, wahrscheinlich ist es hoffnungslos, von dir zu erwarten, dass du mathematisch korrekte Formulierungen erfasst oder selbst zustande bringst? nimms mir bitte nicht allzu übel.. und denk in Ruhe darüber nach.. |
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Natürlich ist der Ursprung kein zwingender Aufpunkt dennoch werden diejenigen Vektoren die die yz-Ebene aufspannen IMMER in ihr liegen und nicht parallel dazu ;-). Mir ist durchaus klar was du meinst allerdings bist du es der sich mathematisch nicht ausdrücken kann :-). Vektoren geben immer Richtungen an und natürlich können die oben genannten zunächst parallel zur yz-Ebene liegen. Sobald du sie allerdings mit deinem "Aufpunkt" kombinierst befinden sie sich in der x=0 Ebene und nicht mehr Parallel dazu ;-) |
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Hallo whyn0t und rundblick, ich habe lange überlegt, ob ich mich einmischen soll oder mich weiter amüsieren, aber vielleicht ist es besser diese Diskussion durch einen dritten zu beenden, vielleicht kann ich da etwas zum Ende beitragen. Ein Vektor ist in unserer Anschauung etwas, das einen Betrag und eine Richtung hat. Ein Vektor hat keinen Ort, der liegt nirgendwo, nicht in der y-z-Ebene und auch nicht mal in dieser und mal in jener parallelen Ebene. Allerdings hat rundblick recht, wenn er die Darstellung kritisiert, denn die übliche Darstellungsform ist Eine Ebene wird in der Parameterdarstellung durch einen Punkt und einen zweidimensionalen Vektorraum (dargestellt als lineare Hülle über zwei Basisvektoren) durch den Doppelpunkt bestimmt und nicht durch ein Gleichheitszeichen gleichgesetzt. Dabei hat sich whyn0t wohl gedacht, dass man als Punkt den Ursprung nehmen kann und da der ist, trägt der ja wertmäßig bei keiner der drei Komponenten etwas bei, da kann man den weglassen. Das ist rechnerisch zwar korrekt, aber dann handelt es sich bei dem Term auf der rechten Seite nicht mehr um eine Addition aus einem Punkt und einem Vektor, die einen Punkt ergibt (das erste "+" ist das "+" zwischen einem Punkt und einem Vektor aus dem affinen Raum), sondern nur um die Addition aus dem Vektorraum und da kommt ein Vektor raus. Um das Ergebnis in seiner Art nicht zu verfälschen, muss man formal korrekt einen Punkt aus der Ebene angeben. Eine korrekte Darstellung wäre demzufolge Fazit: Die bemängelte Darstellung war mathematisch nicht korrekt, auch wenn whyn0t das nicht einsehen wollte (und vielleicht immer noch nicht will), allerdings waren die Argumente von rundblick auch nicht ganz sauber. Frieden? EDIT: Ich habe noch mal gesucht und auch eine rein vektorielle Darstellung einer Ebene gefunden, die in unserem Beispiel so aussähe: In dieser Darstellungsform werden die Punkte durch ihre Ortsvektoren dargestellt und das alle "+" sind in dieser Darstellung das "+" aus dem Vektorraum. Man kann dann tatsächlich den Ortsvektor des Ursprungs weglassen. Allerdings ist in dieser Darstellung wieder der Ortsvektor des Ergebnisses notwendig... |
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