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Limes gegen unendlich mit Sinus und Kosinus

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

 
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bambi98

bambi98 aktiv_icon

15:10 Uhr, 31.01.2023

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Hallo zusammen,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

limn→∞(x2-1)sin2(x)+(x2+1)cos2(x)2x2-x+3

Wie gehe ich hier am besten vor?

Meine Überlegungen:

Das x mit dem höchsten Exponenten ausklammern, kürzen und dann geht alles mit 1/x gegen Null. Aber das geht ja hier aus mehreren Gründen nicht so einfach...

Irgendwas mit Taylorreihen? Aber der Grenzwert geht ja nicht gegen 0...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Roman-22

Roman-22

15:36 Uhr, 31.01.2023

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Zuerst solltest du dir den Unterschied zwischen den Buchstaben "n" und "x" klar machen.

Und wenn dann aus dem "n" ein "x" wurde, dann solltest du den Zähler mal ausrechnen und an den "trigonometrischen Pythagoras" (sin2x+cos2x=1) denken.

Und mit der Beziehung cos(2x)=cos2x-sin2x kann der Ausdruck dann sehr einfach umgeschrieben werden.
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michaL

michaL aktiv_icon

15:36 Uhr, 31.01.2023

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Hallo,

> Wie gehe ich hier am besten vor?

Nenner erst ausmultiplizieren, dann x ausklammern und den trigonometrischen Pythagoras anwenden.

Mfg Michael
Antwort
walbus

walbus aktiv_icon

15:51 Uhr, 31.01.2023

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"Nenner erst ausmultiplizieren,"

Nicht eher den Zähler?
Im Nenner wird das schwierig. :-)
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michaL

michaL aktiv_icon

16:01 Uhr, 31.01.2023

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Hallo,

offenbar leidet mein voriges posting unter einer vertikalen Links-Rechts-Schwäche... :-)

Mfg Michael
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walbus

walbus aktiv_icon

16:50 Uhr, 31.01.2023

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"vertikalen Links-Rechts-Schwäche"
Nettes Oymoron!
Dass ein Mathematiker sowas Groteskes über die Lippen bringt, ist erstaunlich.
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:06 Uhr, 31.01.2023

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Was ist ein Oymoron?
Antwort
Roman-22

Roman-22

17:07 Uhr, 31.01.2023

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supporter hat sich vertippt und meinte ein Oxymoron.
bambi98

bambi98 aktiv_icon

09:32 Uhr, 01.02.2023

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Nachdem ich das gemacht habe, komme ich auf:

limx→∞x2+cos(2x)2x2-x+3

Wie mache ich jetzt weiter?
Antwort
HAL9000

HAL9000

09:50 Uhr, 01.02.2023

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Da gibt es verschiedene Möglichkeiten:

1) Aufteilung x22x2-x+3+cos(2x)2x2-x+3 und getrennte Grenzwertbetrachtung der beiden Summanden, bei letzterem unter Berücksichtigung der Beschränktheit ∣cos(2x)∣≤1.

2) Sandwichabschätzung x2-12x2-x+3≤x2+cos(2x)2x2-x+3≤x2+12x2-x+3 (da geht natürlich auch wieder die genannte Beschränktheit ein) und dann Sandwichtheorem.
Frage beantwortet
bambi98

bambi98 aktiv_icon

10:24 Uhr, 01.02.2023

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Also nach der Aufteilung geht der erste Teil gegen 0,5 und der zweite Teil gegen 0(cos bleibt unter 1 und unterm Bruchstrich gehts gegen unendlich). Insgesamt ist das Ergebnis also 0,5.

Danke an alle für eure Hilfe!