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Mantelfläche berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Integral, Komplexe Analysis

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12:59 Uhr, 13.10.2009

Ein Quadrat mit der Seitenlänge

L

mit dem Mittelpunkt in

(M; 0)

rotiere um die Z-Achse.

Berechnen Sie die Mantelfläche des dabei entstehenden Körpers.

Grundlegend ist mir klar wie man so eine Aufgabe rechnet. Mir fehlt nur der Ansatz wie ich das Quadrat im Koordinatensystem beschreiben soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MBler07 aktiv_icon

19:17 Uhr, 13.10.2009

Hi

Da es ein Quadrat ist: Für was der Winkel alpha?

Für das Quadrat gibt es mehrere Möglichkeiten:
Für jede Kante eine Geradengleichung aufstellen (bzw. nur die obere Hälfte und das Ergebnis verdoppeln).

Den Schwerpunkt einer Seite und damit den Radius des Rotationskreises bestimmen. Danach einfach Kreisumfang mal Länge der Seite.

Klar?

Grüße

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11:18 Uhr, 14.10.2009

Sorry, den WInkel

α

habe ich hingezeichnet.

Wie genau stellt man die Geradengleichungen auf? Diese Idee hatte ich auch schon, aber bin am aufstellen der Gleichungen gescheitert.

Könnte ich auch nur eine Aufstellen und das Ergebniss vervierfachen?

Edddi aktiv_icon

11:52 Uhr, 14.10.2009

...Jede der einzelnen Seiten

L

des "Quadrats" bildet nach der Rotation um

z

einen Mantel eines Kegelstumpfes (mal richtigrum...mal umgedreht)

Der Mantel der durch beide obere Linien gebildet wird ist genauso groß wie der Mantel der beiden unteren Linien (Spiegelsymmetrie!)

Für

L

ergibt sich nach Rotation folgender Mantel von:

Kegelstumpf mit Grundfläche Radius

M

und Deckfläche Radius

M - \frac{L}{\sqrt{2}}

Für die 2. obere Linie ergibt sich nach Rotation folgender Mantel von:

Kegelstumpf mit Grundfläche Radius

M + \frac{L}{\sqrt{2}}

und Deckfläche Radius

M

...nun beide Mäntel ausrechnen..das mal

2 . .

. und fertig!

;-)

Edddi aktiv_icon

12:45 Uhr, 14.10.2009

...die Höhe des Kegelstumpfes im vorigen Beitrag wäre ebenfalls L/sqrt(2)...logisch.

Aber ich hab' gerade gesehen, das du das mittels Integralrechnung haben willst.

Wenn du deine Achsen spiegelst an

z = x

erhälst du einen Rotationskörper, der um

z

rotiert wird. Da die z-Achse allerdings dort liegt, wo du sonst immer

x

hast kannst du schreiben:

M = 2 \cdot Π \cdot \int_{a}^{b} f (z) \cdot \sqrt{1 + f' {(z)}^{2}} \cdot d z

Dein Qudrat liegt jetzt sozusagen auf der "Y-Achse" und du musst die beiden Seiten auf der rechten Seite (1.Quadrant) in 2 Funktionen darstellen.

f_{1} = - z + (M + \frac{L}{\sqrt{2}})

f_{2} = z + (M - \frac{L}{\sqrt{2}})

somit:

{f'}_{1} = - 1

{f'}_{2} = 1

Als Grenzen wählst du 0 und

\frac{L}{\sqrt{2}}

Somit hast du:

M_{1} = 2 \cdot Π \cdot \int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} - z + M + \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot d z = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot Π \cdot \int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} - z + M + \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot d z

und

M_{2} = 2 \cdot Π \cdot \int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} z + M - \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot d z = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot Π \cdot \int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} z + M - \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot d z

M_{1} + M_{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot Π \cdot (\int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} - z + M + \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot d z + \int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} z + M - \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot d z)

M_{1} + M_{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot Π \cdot (\int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} - z + M + \frac{L}{\sqrt{2}} + z + M - \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot d z)

M_{1} + M_{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot Π \cdot (\int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} 2 \cdot M \cdot d z)

M_{1} + M_{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot Π \cdot 2 \cdot M \cdot (\int_{0}^{\frac{L}{\sqrt{2}}} \cdot d z)

...so, den Rest allein, und nicht vergessen, das

M_{G} = 2 \cdot (M_{1} + M_{2})

;-)

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11:27 Uhr, 15.10.2009

Danke für deine Erklärung!

Da wäre ich allein nie drauf gekommen!

Die Matelfläche beträgt 8Π*L*M

Gruß Marie

Edddi aktiv_icon

14:31 Uhr, 16.10.2009

...voll korrekt...also schönes Wochenende

;-)

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