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Mathe LK Aufgabe Integral

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, MATH, matheleistungskurs, oberunduntersumme, regeln

littletmlk aktiv_icon

13:02 Uhr, 23.09.2023

Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, kann mir jemand helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

13:22 Uhr, 23.09.2023

Na ja, ich fasse das für dich nochmals in hoffentlich verständlichere Worte.
Du hast die Funktion

y = x^{2}

Offensichtlich besteht das Fern-Ziel darin, das Integral,

d . h

. die Fläche unter dem Graphen im Bereich

0 < x < b

zu errechnen.
Und offensichtlich soll dies hinführend zum Integral nicht als echtes Integral, sondern im Stil von Summen-Algorithmen als Ober- bzw. Untersumme erfolgen.

Dazu wurde das Intervall

0 < x < b

n

Teilbereiche unterteilt.

Jetzt kannst du die Untersumme bilden.
Mach dir klar, das sind die gelblich/orangen Rechtecke.
Du wirst eben aus den Angaben den Flächeninhalt dieser gelblich/orangen Felder berechnen sollen.
Kannst du das mal allgemeingültig aus diesen Angaben herleiten?

Dann kannst du die Obersumme bilden.
Mach dir klar, das sind die grünen Rechtecke (wobei - hier ungeschickt dargestellt - wir die grünen Felder für die Obersumme stets bis runter zur x-Achse vorstellen wollen).
Du wirst eben aus den Angaben den Flächeninhalt dieser grünen Felder berechnen sollen.
Kannst du das mal allgemeingültig aus diesen Angaben herleiten?

PS:
Mir ist noch eingefallen, dass es gegenüber oben erwähnter Hinführung vielleicht noch einen viel kürzeren Ansatz gibt.

Ich hatte oben schon präzisiert, dass man als Obersumme irgendwelche Rechteck-Flächen bis runter zur x-Achse verstehen sollte.
Vielleicht ist es aber schon so vom Aufgabensteller dargestellt, wenn wir mal nur die echt grünen Felder oberhalb der gelben Felder betrachten.
Ist das nicht gerade die Differenz zwischen Obersumme und Untersumme?

Wenn ja, schieb mal alle grünen Felder gedanklich nach rechts zu einem Streifen zusammen....

littletmlk aktiv_icon

14:18 Uhr, 23.09.2023

Ah okay danke, also was ich bis jetzt habe ist das

δ x

entspricht ja der breite

\frac{b}{n}

Also Sn obersumme wäre= (1•

\frac{b}{n})^{2} +

(2•b/n)^2 +…+ (n•b/n)^2
Die Fläche von Rechteck: Sg

(\frac{b}{n})

•

(\frac{b^{2}}{n})

• (1+4+…n^2)
Macht das Sinn ? Wenn ja wie mache ich da jetzt weiter weil theoretisch sollte sich bei der Differenz dann alles so aufheben, dass

(\frac{b^{3}}{n})

bleibt oder ?

littletmlk aktiv_icon

14:18 Uhr, 23.09.2023

Ah okay danke, also was ich bis jetzt habe ist das

δ x

entspricht ja der breite

\frac{b}{n}

Also Sn obersumme wäre= (1•

\frac{b}{n})^{2} +

(2•b/n)^2 +…+ (n•b/n)^2
Die Fläche von Rechteck: Sg

(\frac{b}{n})

•

(\frac{b^{2}}{n})

• (1+4+…n^2)
Macht das Sinn ? Wenn ja wie mache ich da jetzt weiter weil theoretisch sollte sich bei der Differenz dann alles so aufheben, dass

(\frac{b^{3}}{n})

bleibt oder ?

calc007

14:28 Uhr, 23.09.2023

Ich ahne, du wolltest sagen
'Die Summe der Rechteck-Flächen ist..."

Ja, sieht schon sehr fortschrittlich aus.
:-)

Hattest du mein
'PS'
schon beachtet?

littletmlk aktiv_icon

14:32 Uhr, 23.09.2023

Oh ja, aber ich verstehe es nicht so ganz, tut mir leid, falls ich mich gerade dumm anstelle, aber bin bisschen überfordert gerade

calc007

14:33 Uhr, 23.09.2023

Kein Problem.
Hast du einen Drucker?
Druck dir das Aufgabenblatt mal aus.
Nimm eine Schere.
Schneide alle echt grünen Rechtecke aus.
Leg sie alle untereinander.

(Ersatzweise auch rein gedanklich)

Randolph Esser aktiv_icon

23:52 Uhr, 23.09.2023

Für

n \in N

seien

U_{n} := \sum_{k = 1}^{n} q \cdot {((k - 1) \cdot q)}^{2}, O_{n} := \sum_{k = 1}^{n} q \cdot {(k \cdot q)}^{2}

mit

q := \frac{b}{n}

Unter- bzw. Obersumme der Quadratfunktion auf

[0, b]

(mit äquidistanter Zerlegung).

Es folgt

O_{n} - U_{n} = \sum_{k = 1}^{n} q \cdot {(k \cdot q)}^{2} - \sum_{k = 1}^{n} q \cdot {((k - 1) \cdot q)}^{2}

(sog. "Teleskopsumme")

= \sum_{k = 1}^{n} q \cdot {(k \cdot q)}^{2} - \sum_{k = 0}^{n - 1} q \cdot {(k \cdot q)}^{2}

= q \cdot {(n \cdot q)}^{2} + \sum_{k = 1}^{n - 1} q \cdot {(k \cdot q)}^{2} - q \cdot {(0 \cdot q)}^{2} - \sum_{k = 1}^{n - 1} q \cdot {(k \cdot q)}^{2}

= q \cdot {(n \cdot q)}^{2} - q \cdot {(0 \cdot q)}^{2} = q \cdot {(n \cdot q)}^{2} = n^{2} \cdot q^{3} = n^{2} \cdot \frac{b^{3}}{n^{3}} = \frac{b^{3}}{n}

.

Wegen

O_{n} - U_{n} = \frac{b^{3}}{n} \to 0 (n \to \infty)

ist die Quadratfunktion

Riemann-integrierbar mit

\int_{0}^{b} x^{2} d x = lim_{n \to \infty} O_{n} = lim_{n \to \infty} (q^{3} \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2})

= lim_{n \to \infty} (q^{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot n^{3} + \frac{1}{2} \cdot n^{2} + \frac{1}{6} \cdot n))

= lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3} \cdot b^{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{b^{3}}{n} + \frac{1}{6} \cdot \frac{b^{3}}{n^{2}}) = \frac{1}{3} \cdot b^{3},

wobei benutzt wurde, dass

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{3} \cdot n^{3} + \frac{1}{2} \cdot n^{2} + \frac{1}{6} \cdot n

für alle

n \in N

.

Bem.: Die Aufgabenstellung ist gruselig schwurbelig.
Ein bisschen mehr Formalismus würde nicht schaden,
wo es doch sogar ein LK ist.

littletmlk aktiv_icon

13:11 Uhr, 24.09.2023

Hallo, erstmal danke für die ausführliche Antwort, jedoch verstehe ich nicht so ganz wie du auf alles kommst. Könnte man nicht eigentlich direkt vom 3. Schritt aus losrechnen, da man ja schon weiß, wie du Ober und untersumme Formel jeweils definiert sind außerdem verstehe ich nicht, wie du auf die 0 im 4. Schritt kommst. Aber wirklich danke für die Antwort ☺️

Randolph Esser aktiv_icon

13:34 Uhr, 24.09.2023

Vom 3. zum 4. von Dir so benannten Schritt

mache ich eine Indexverschiebung.

k

zählt von 0 bis

n - 1

statt vorher von 1 bis

n

und damit alles gleich bleibt, müssen die

k' s

in der Summe um 1 erhöht werden, kurz:

\sum_{k = 1}^{n} q \cdot {((k - 1) \cdot q)}^{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} q \cdot {((k + 1 - 1) \cdot q)}^{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} q \cdot {(k \cdot q)}^{2}

.

Allgemeiner kann man diesen Trick so formulieren:

\sum_{k = m}^{n} f (k) = \sum_{k = m + v}^{n + v} f (k - v)

mit

m, n, v \in Z, m \leq n

und

f : Z \to R

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17:25 Uhr, 24.09.2023

Entschuldigung aber was bringt das mir für die rechnung

littletmlk aktiv_icon

17:26 Uhr, 24.09.2023

Ahh okay danke mich verwirrt die Schreibweise nur etwas, da wir es bei uns im lk anders hatten

HAL9000

12:57 Uhr, 25.09.2023

Tatsächlich hängt die zu beweisende Aussage gar nicht so sehr von der speziellen Struktur der quadratischen Funktion im Intervall

[0, b]

ab - es geht eher um die vorliegende Monotonie:

Durch analoge Betrachtungen findet man für eine beliebige im Intervall

[a, b]

monoton wachsende Funktion

f

für deren Integral

\int_{a}^{b} f (x) d x

folgende Differenz von Unter- und Obersumme bei Intervallaufteilung in

n

gleich breite Intervalle der Einzelbreite

h = \frac{b - a}{n}

O_{n} = h \cdot \sum_{k = 1}^{n} f (a + k h)

U_{n} = h \cdot \sum_{k = 1}^{n} f (a + (k - 1) h) = h \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} f (a + k h)

\Rightarrow O_{n} - U_{n} = h \cdot [f (a + n h) - f (a)] = \frac{b - a}{n} \cdot ∣ f (b) - f (a) ∣

.

Für monoton fallende Funktionen gilt übrigens dieselbe Endformel (daher habe ich gleich die Beträge rechts gesetzt).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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