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Mathematik-Bsp: Fläche eines Trapezes ermitteln

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Fläche, Geometrie, Trapez, Trigonometrie, volum

mrschatten aktiv_icon

19:54 Uhr, 16.03.2023

Hallo, das Bsp befindet sich als Bild im Anhang. Danke im Voraus!
Also ich weiß, dass ich die fläche des trapezes mit der dammlänge multiplizieren muss um das volumen zu erhalten. Ich weiß jedoch nicht wie ich die fläche berechnen soll. Mir kommen sinussatz/kosinussatz/aufteilen in dreiecke etc. in den kopf, die ideen brachten mir aber nichts… Bräuchte dringend Hilfe! Danke sehr!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Flächeninhalte
Raute / Drachenviereck / Trapez
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:11 Uhr, 16.03.2023

Hallo,

das Bild fehlt noch. Am günstigsten bzgl. des Speicherplatzes (max 500 kb) sind Bilder im jpg-Format.

Gruß
pivot

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20:18 Uhr, 16.03.2023

Verständlich. Hab ich wohl übersehen, danke!!

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20:41 Uhr, 16.03.2023

Haben Sie das Bild erhalten/gesehen? MfG

Respon

20:44 Uhr, 16.03.2023

Ja !
Möglicher Weg:
Ziehe eine Parallele zur Seite

d

. In dem Hilfsdreieck läßt sich

b

und in weiterer Folge

h

berechnen.

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20:51 Uhr, 16.03.2023

Und wie soll man

b

ausrechnen? Man braucht definitiv eine Seite die ich auf die schnelle nicht erkennen kann

Respon

20:54 Uhr, 16.03.2023

Der 3. Winkel

γ

im Dreieck ist 180°-51°-58° =71°
Berechne

b

mit Sinussatz.

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20:56 Uhr, 16.03.2023

Genau, aber mit dem sinussatz zu arbeiten braucht man mindestens eine seite, die sehe ich leider nicht :-)) könnten Sie mir den verraten?

Respon

20:57 Uhr, 16.03.2023

Die Grundlinie des Dreiecks ist

a - c = . .

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21:02 Uhr, 16.03.2023

Genau, aber wenn ich

a - c

rechne erhalte ich doch nicht die richtige seite oder? (Nehmen Sie es mir nicht übel, ich bin sehr erschöpft vom heutigen tag, muss aber diese nummer für morgen erledigen)

Respon

21:06 Uhr, 16.03.2023

Sinussatz:

\frac{a - c}{b} = \frac{sin (γ)}{sin (α)} \Rightarrow b = . .

\frac{h}{b} = sin (β) \Rightarrow h = . .

.

Das Hilfsdreieck ist durch eine Seite und die zwei anliegenden Winkel eindeutig gegeben. Da kann man natürlich auch andere Rechenwege verwenden,

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21:11 Uhr, 16.03.2023

Also muss man erst einmal die Fläche berechnen. Dazu die rechts und links überstehenden Längen der Dammbasis berechnen.

2 x = Dammbasis-Dammkrone

Dass x links und rechts gleich lang sind ist eine vereinfachende Annahme.

Daraus folgt:

x = \frac{10, 7 - 6, 6}{2} = 2, 05

Um nun die Höhe zu berechnen verwenden wir wiederum das Mittel aus

51 °

und

58 °

. Das ist

54, 5 °

Dann ist

\tan (54, 5 °) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{h}{2, 05} \Rightarrow h \approx 2, 874

Respon

21:15 Uhr, 16.03.2023

Zur Kontrolle ( falls ich mich nicht verrechnet habe )

b \approx 3,37 m

h \approx 2,86 m

A = \frac{(a + c) \cdot h}{2} \approx 24,72 m^{2}

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21:15 Uhr, 16.03.2023

Macht Sinn. Ist es jedoch auch ein guter Weg zum Rechnen? Ist ja letzendlich nur eine Annahme und nicht

100 %

richtig

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21:17 Uhr, 16.03.2023

Das bekomme ich auch raus. Können Sie mir aber bitt nochmal das

\frac{a - c}{b} = \frac{sin (γ)}{sin (α)}

erklären. Denn ich kenne nur

\frac{a}{sin (α)} = \frac{b}{sin (β)} = \frac{c}{sin (γ)}

und weiß auch nicht wie sie und warum sie in die formel eingesetz haben. Vielen Dank!

pivot aktiv_icon

21:20 Uhr, 16.03.2023

<<Ist ja letzendlich nur eine Annahme und nicht 100% richtig<<

Du sollst ja auch abschätzen. Das ist in vielen Situationen des Lebens auch gut genug.

Für das Allgemeinwissen ist es auch hinreichend zu wissen, dass das Licht von der Sonne zu Erde etwa 8 Minuten benötigt.

Respon

21:25 Uhr, 16.03.2023

Das ist nur eine andere Schreibweise.
In unseren Bezeichnungen:

\frac{a - c}{sin (γ)} = \frac{b}{sin (α)}

Schau dir den Sinussatz IN WORTEN nochmals an. ( Die Seite verhält sich zum

s i n

des gegenüberliegenden Winkels

. .

. )

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21:28 Uhr, 16.03.2023

Ahhh, jetzt macht es natürlich sinn. Woher wussten Sie aber, dass

a - c

die Seite "unten" vom Hilfsdreieck ist?

Respon

21:31 Uhr, 16.03.2023

Schau dir die Zeichnung nochmals an. Das ergibt sich durch das Parallelverschieben.
Die Grundlinie des linken Parallelogramms ist

c,

da bleibt für das Dreieck als Grundlinie

a - c

übrig.

Enano

01:04 Uhr, 17.03.2023

Alternative, ähnl. der Rechnung von pivot, aber ohne Vereinfachung:
Weil die Ankatheten der beiden Dreiecke nicht gleich lang sein können, bezeichne ich sie als

x

und

y

.

Dann ist

x + y = 10,7 m - 6,6 m = 4,1 m

oder

x = 4,1 m - y

und

tan(51°)

= \frac{h}{x} = \frac{h}{4,1 m - y} \to y = 4,1 m -

h/tan(51°)

sowie

tan(58°)

= \frac{h}{y} \to y =

h/tan(58°).

4,1 m -

h/tan(51°) = h/tan(58°)

h =

4,1m/(1/tan(58°)+1/tan(51°))

\approx 2,86 m

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