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Maximaler flächeninhalt bei integralrechnung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, maximaler flächeninhalt, unbekannte Grenzen

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21:06 Uhr, 08.01.2012

f (x) = k - \frac{10}{k} \cdot x^{2} + (20 - 2 k) x = 0

die fläche die der graph mit der

x

achse einschließt soll maximal sein...

wie ????

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

21:13 Uhr, 08.01.2012

Für

k > 0

ist das eine nach unten offene Parabel. Finde als erstes die Nullstellen. Das sind dann die Integrationsgrenzen.

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21:16 Uhr, 08.01.2012

als grenzen hab ich 0 und

2 k

und dann weiter ???

DmitriJakov aktiv_icon

21:20 Uhr, 08.01.2012

Bei

x = 0

ist

f (x) = k,

also keine Nullstelle, wenn

k \neq 0

ist. Da musst Du nochmal ran.

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21:23 Uhr, 08.01.2012

wie kommst du denn auf die grenzen ?

DmitriJakov aktiv_icon

21:26 Uhr, 08.01.2012

Ich nehme an, dass die Grenzen der mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse sind. Bist Du anderer Ansicht?

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21:27 Uhr, 08.01.2012

ja das habe ich auch angenommen..
also

= 0

und dann kommt bei mir aber

x 1 = 0

und

x 2 = 2 k

raus

DmitriJakov aktiv_icon

21:36 Uhr, 08.01.2012

Nur zur Sicherheit:

Du setzt in

f (x) = k - \frac{10}{k} \cdot x^{2} + (20 - 2 k) x

für

x

den Wert Null ein. Dann bekommst Du:

f (0) = k - \frac{10}{k} \cdot 0^{2} + (20 - 2 k) \cdot 0 = k - 0 + 0 = k

und wenn Du

x_{2} = 2 k

einsetzt, dann bekommst Du:

f (2 k) = k - \frac{10}{k} \cdot {(2 k)}^{2} + (20 - 2 k) \cdot 2 k = k - 40 k + 40 k - 4 k^{2} = k - 4 k^{2}

Oder Hast Du vielleicht irgendwas an Deiner Funktionsgleichung zu verbessern?

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21:39 Uhr, 08.01.2012

Kannst du mir nicht sagen, was ich machen muss

wenn ich die grenzen habe, um den maximalen flächeninhalt zu bekommen ??

DmitriJakov aktiv_icon

21:42 Uhr, 08.01.2012

Als erstes lernst Du bitte korrekt Klammern zu setzen. Sonst arbeite ich hier an Funktionen herum, die gar nicht deine Aufgabe sind!

Und dann will ich jetzt die Stammfunktion zu

f (x)

von Dir sehen, zumindest einen Versuch diese zu bilden.

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21:48 Uhr, 08.01.2012

Die Klammern sind richtig

nur das erste

k

muss über den bruchstrich... aber das kann das hier irwie nich darstellen..

Stammfunktion:(k

\cdot 10 x \frac{)}{k} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + (20 x - 2 k) \frac{1}{2} x^{2}

DmitriJakov aktiv_icon

21:54 Uhr, 08.01.2012

Die Klammern sind nicht richtig, schau Dir bitte nochmal deinen eigenen Startpost an. Da steht:

f (x) = k - \frac{10}{k} \cdot x^{2} + (20 - 2 k) \cdot x

Nach Den Nullstellen von Dir muss es aber heissen:

f (x) = (k - \frac{10}{k}) \cdot x^{2} + (20 - 2 k) \cdot x

Das ist ein ziemlich wichtiger Unterschied.

Deine Stammfunktion passt auch nicht. Benutze bitte die Vorschau. Edit: und sorge für mindestens ein Leerzeichen zwischen Texten un Formeln.

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21:55 Uhr, 08.01.2012

dann sag mir doch wie die stammfunktion richtig heißt ???

DmitriJakov aktiv_icon

21:58 Uhr, 08.01.2012

Du kannst es mathematisch, du bist aber schlampig. Diese beiden Dinge sind hier in dieser kurzen Zeit offensichtlich geworden. Und deswegen gehe ich Dir so auf die Nerven, wenn es um die Formalien geht.

Schau Dir nochmal Deine Stammfunktion an, und welchen wirklich dämlichen Tippfehler Du da drin hast. Es ist doch wirklich zum heulen, wenn man alles kann, so wie Du bisher, und an solchen Nachlässigleiten dann Punktabzüge bekommt.

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22:01 Uhr, 08.01.2012

Dein Tippfehler ist nur, weil das Programm es nciht richtig dastellen kann
ich weiß das das

k

unter den Bruchstrich muss...

\frac{k - 10 x}{k}

Also ist die Stammfunktion doch richtig aufgeleitet ??

Und kannst du mir jetzt sagen, wie ich von da auf den amximalen Flächeninhalt komme oder nich ?

DmitriJakov aktiv_icon

22:08 Uhr, 08.01.2012

Nein, das ist nicht der Bruchstrich, der schräg drinhängt wie die Schell'n sieben. Es ist das Mal- Zeichen und das

x,

das da nicht reingehört.

Du hast:

(k \cdot 10 \frac{x}{k}) \cdot \frac{1}{3} x^{3} + (20 x - 2 k) \cdot \frac{1}{2} x^{2}

richtig ist aber:

F (x) = (k - \frac{10}{k}) \cdot \frac{1}{3} x^{3} + (20 - 2 k) \cdot \frac{1}{2} x^{2}

So, und das nun von den Grenzen Null bis

2 k,

das heisst also: Stammfunktion

F (x)

an der oberen Grenze

x = 2 k

minus Stammfunktion

F (x)

an der unteren Grenze

x = 0

.

Das ist dann Deine Zielfunktion, die es zu maximieren gilt. Schreib sie mal auf und sag auch, was dann der nächste Schritt ist.

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22:10 Uhr, 08.01.2012

wenn ich für

x = 2 k

eingesetzt habe

= 0

setzen und dann auflösen. schauen welcher wert für

k

rauskommt

???

DmitriJakov aktiv_icon

22:18 Uhr, 08.01.2012

Wenn Du die Integrationsgrenzen 0 und

2 k

eingesetzt hast, dann hast Du eine Formel für den Flächeninhalt. Diese Formel enthält noch eine Variable, nämlich

k

. Der Flächeninhalt A ist also eine Funktion von

k,

also ist

A = f (k)

Und A ist maximal, wenn

A' = 0

und

A'' < 0

Your turn :-)

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22:20 Uhr, 08.01.2012

Wenn ich A´ bilde, habe ich doch wieder meine ursprungsfunktion ?? nur mit

2 k

eingesetzt ???

DmitriJakov aktiv_icon

22:24 Uhr, 08.01.2012

Jepp, aber das ist in diesem Fall wirklich eher die Ausnahme. Dein Mathelehrer (oder der Autor des Schulbuchs) hat das Design dieser Aufgabe eben zufällig so gewählt.

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