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Mehrdimensionales Integrieren

Schüler Berufsschulen, 13. Klassenstufe

Tags: Integral, integrieren, Mehrdimensionale Integration

Aschee aktiv_icon

19:20 Uhr, 12.12.2016

Guten Abend liebe Community.

Setze mich jetzt seit gestern mit mehrdimensionaler Integration auseinander. Bild mit Aufgabenstellung befindet sich im Anhang.

Es geht um den Schritt nach dem Satz "Wähle zur Integration Polarkoordinaten...".

Dort wird der Integrand

e

hoch minus

r

zum quadrat des zweiten Integrals mit

d φ

nach vorne ins erste Integral gezogen. In der Gleichung rechts daneben steht dann das zweite Integral nur noch mit

d φ,

was gleich

2 π

ist.

Ich kann dieses nach vorne ziehen nicht nachvollziehen. Kann mir jemand den Grund nennen oder diesen Schritt näher erläutern, warum man dies machen darf? Hinnehmen möchte ich es ungern und habe auch nach einiger Suche keine Regel gefunden die diesen Schritt rechtfertigt.

Habe die Befürchtung, dass es mal wieder was simples ist :-D)

Vielen Dank im voraus für die Mühe :-)

MfG Andre!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mihisu aktiv_icon

19:43 Uhr, 12.12.2016

e^{- r^{2}}

ist konstant bzgl.

φ,

also darf man es aus dem

φ

-Integral rausziehen.

Vergleiche beispielsweise:

\int_{0}^{2} 3 \cdot x d x = 3 \cdot \int_{0}^{2} x d x

Hier ist 3 ein konstanter Faktor, den man auch außerhalb des

x

-Integrals schreiben kann.
Genauso ist es im Grunde hier mit dem

e^{- r^{2}}

.

\\\\

Genauso kannst du deshalb überhaupt auch die Integrale voneinander trennen.
Eigentlich hat man, wenn man es genau nimmt hier zunächst:

I = \frac{1}{α} \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{2 π} (e^{- r^{2}} \cdot r) d φ) d r

e^{- r^{2}} \cdot r

nicht von

φ

-abhängt, also konstant bzgl.

φ

ist, darf man

e^{- r^{2}} \cdot r

aus dem

φ

-Integral holen:

I = \frac{1}{α} \int_{0}^{\infty} ((e^{- r^{2}} \cdot r) \cdot \int_{0}^{2 π} d φ) d r

Nun ist das Integral

\int_{0}^{2 π} d φ

nicht mehr von

r

abhängig, also konstant bzgl.

r

. Daher darf man

\int_{0}^{2 π} d φ

aus dem

r

-Integral holen.

I = \frac{1}{α} (\int_{0}^{\infty} (e^{- r^{2}} \cdot r) d r) \cdot (\int_{0}^{2 π} d φ)

[

Ich habe der Übersicht halber, um besser zu kennzeichnen, was jetzt zum Integranden des jeweiligen Integrals gehört, ein paar Klammern mehr gesetzt als nötig und das

d r

bzw.

d φ

ans Ende des jeweiligen Integrals geschrieben.

]

Bei der Schreibweise

I = \frac{1}{α} \int_{0}^{\infty} d r r \int_{0}^{2 π} d φ e^{- r^{2}}

ist nämlich evtl. nicht sofort ersichtlich, dass alles was hinter dem

\int_{0}^{\infty} d r

zum

r

-Integral gehört.
Daher könnte auch evtl. deine Verwirrung stammen. Das

e^{- r^{2}}

wird nicht ins

r

-Integral reingezogen, sondern ist von Anfang an schon im

r

-Integral.

Aschee aktiv_icon

20:08 Uhr, 12.12.2016

Ahh! Jetzt habe ich es verstanden, sehr gute Erklärung. Auch das du es mit den Klammern beschreibst, jetzt habe ich deutlich mehr Überblick was eigentlich wirklich Schritt für Schritt passiert.

Vielen Dank für die super schnelle sowie ausführliche Erklärung :-) Einen gut haben bei mir lohnt sich bei meinem Wissensstand bestimmt nicht :-P) Trotzdem schönen Abend noch!

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