Mittelwertsatz der Differential/Integralrechnung

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt:

Sei f eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion. Dann gibt es ein ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\in [\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}$ mit ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)}$.

Siehe auch [url=http://www.mathepedia.de/formeln/58/5cint5fa5ebf-f029_d458.png]hier[/url]

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt:

Gegeben sei die stetige Funkton ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:[\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]\mapsto \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, die im interfall ]a;b[ differenzierbar ist.

Dann exestiert wenigstens ein c€]a;b[ mit ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$