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Modellierungsaufgaben Flächenberechnung

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Flächenberechnung, Funktionsgraph, Integral, Modellierungsaufgaben

elnino9 aktiv_icon

19:25 Uhr, 22.01.2014

Hallo, ich bin leider wieder am verzweifeln, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Mac Fish plant als Firmenlogo für die Fenster ein transparentes Symbol.
Ein Designer liefert den Entwurf (im Anhang)

a)

Bestimmen Sie die Parabelgleichungen

f

und

g

b)

Welchen Inhalt A hat das Logo?

c)

das Logo lässt nur

50 %

des Lichtes durch. Wie stark reduziert sich der Lichteinfall des gesamten Fensters?

d)

In welchem Bereich ist das Logo mindestens 25cm hoch?

Meine Ideen:

Allgemeine Parabelgleichung wie folgt aussieht:

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

Der Scheitelpunkt ist auf der y-Achse nach oben bzw. unten geöffnet ist und die Funktion ist achsensymmetrisch

d . h

f (- x) = f (x)

Weiter komme ich nicht ..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenberechnung und bestimmtes Integral
Funktionsgraphen analysieren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

19:29 Uhr, 22.01.2014

Du kannst zu beiden Parabeln

f

und

g

jeweils drei Punkte bestimmen mit denen du die Funktionsgleichung aufstellen kannst.

elnino9 aktiv_icon

19:35 Uhr, 22.01.2014

Ist der Punkt

c

nicht der Schnittpunkt mit der y-Achse?
Und somit bei

f (x) = 2

LE und bei

g (x) = 3

LE
Muss ich das dann einfach in meine Parabelgleichung einsetzen für die jeweiligen Gleichungen?

anonymous

19:40 Uhr, 22.01.2014

Nein nein. Versuch vorerst das mit den Längeneinheiten wegzulassen.

Fangen wir mit der Parabel

f

an.

Diese hat 3 Punkte, die man leicht ablesen kann.

N_{1} (... | ...)

N_{2} (... | ...)

S (... | ...)

Wenn du dann die gewünschten Punkte hast, setze sie in deine allgemeine quadratische Gleichung ein:

I:

...

.
II:...
III:...

Dann hast du drei Gleichungen nach deren du die Koeffizienten berechnen kannst.

Einfacher könnte es

z . B

mit Scheitelpunktsform etc. gehen.

elnino9 aktiv_icon

19:57 Uhr, 22.01.2014

N 1 (0 / 2)

N 2 (4 / 0)

S (0 / 2)

f (x) = a x^{2} + b x + c

I(x)

= a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c

II (x)

= a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c

Also mit dieser Scheitelpunktfunktion:

f (x) = a {(x - d)}^{2} + e

anonymous

20:13 Uhr, 22.01.2014

Auf dem richtigen Weg, aber noch nicht so ganz passend.

S (0 | 2)

ist der Scheitelpunkt der parabel, der passt.

Die Nullstellen der Parabel aber noch nicht so ganz.

Diese Parabel ist ja symmetrisch zur y-Achso, und da der Fischrumpf 8 LE lang ist liegen die Nullstellen wohl bei

N_{1} (0 | - 4)

und

N_{2} (0 | 4)

Nun jetzt hast du drei Punkte. Es gibt eigentlich mehrere Möglichkeiten um zur Funktionsgleichung zu gelangen. Hier eine einfache:

Da du die Nullstellen kennst, kannst du die Funktion faktorisiert darstellen:

f (x) = a \cdot (x - 4) \cdot (x + 4)

Das

a_{}

kennen wir aber noch nicht. Deshalb kommt der Scheitelpunkt ins Spiel. Setze ihn in diese Gleichung ein und löse nach a auf. Dann kennst du

a_{}

und du kannst die Funktion ausmultiplieren damit es deine gewünschte Form hat.

elnino9 aktiv_icon

20:32 Uhr, 22.01.2014

Achso, hab nur die

\frac{1}{4}

des Fisches betrachtet.

S (0 | 2)

N 1 (0 |

−

4)

N 2 (0 | 4)

f(x)=a⋅(x−4)⋅(x+4)

Mal eine Frage zu der Gleichung da oben, das ist doch die Scheitelpunktfunktion, warum ist

d = y

und wo ist das

e

abgeblieben?

f (x) = a \cdot (0

−

4) \cdot (0 + 4)

0 = - 16 a / + 16

16 = a

anonymous

20:47 Uhr, 22.01.2014

Nein. Das ist nicht die Scheitelpunktsform.

Wenn man die Nullstellen

x_{1}

und

x_{2}

weiß, kann man das sofort so hinschreiben:

f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

Also für deinen Fall:

x_{1} = 4

und

x_{2} = - 4

f (x) = a \cdot (x - 4) \cdot (x + 4)

Jetzt musst du den Scheitelpukt

S (0 | 2)

einsetzen.

Beachte! Der x-Wert ist 0 und der y-Wert ist 2. Also

x = 0

und

y = 2

\Rightarrow f (0) = 2

\Rightarrow 2 = a \cdot (0 - 4) \cdot (0 + 4)

\Leftrightarrow 2 = a \cdot (- 16)

\Leftrightarrow a = - \frac{1}{8}

\Rightarrow f (x) = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4) \cdot (x + 4)

Jetzt musst du das am besten ausmultplizieren. Hast du soweit alles wirklich verstanden?

Dann müsste die Parabel

p

kein Problem sein.

elnino9 aktiv_icon

21:19 Uhr, 22.01.2014

ACHSO! Ich mach dann mal weiter:

2 = a \cdot (- 16)

2 = - 16 a | \cdot (- 1)

- 2 = 16 a | : 16

\frac{1}{8} = a

Und dann

f (x) = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4) \cdot (x + 4)

f (x) = - \frac{1}{8} \cdot (x^{2} - 16)

f (x) = - \frac{1}{8} x^{2} + 2

Meinst du Parabel g?

anonymous

21:28 Uhr, 22.01.2014

Ok. Bis auf den Tippfehler bei

a = - \frac{1}{8}

Da hast dus positiv unten aber wieder richtig.
Schön erkannt mit der 3.Binomischen Formel.

Richtig.

f (x) = - \frac{1}{8} \cdot x^{2} + 2

ist nun deine Funktionsgleichung.

Genau ich meine die Parabel

g

für den unteren Teil des Fisches.

Die Schritte sind fast die gleichen!

elnino9 aktiv_icon

21:35 Uhr, 22.01.2014

Nur der Schnittpunkt ist hier anders

S (0 | 3)

. .

- 3 = 16 a | : 16

a = - 0,1875

f (x) = - 0,1875 x^{2} + 3

Muss ich das jetzt nur noch addieren? Aber mir fehlt ja noch die schwanzflosse

anonymous

21:54 Uhr, 22.01.2014

Erstens. Es ist der Scheitelpunkt. Wenn du Schnittpunkt sagst, könnte alles gemeint sein.

Zweitens:

- 3 = - 16 \cdot a | : (- 16)

minus

16!

a = \frac{3}{16}

Schreibs lieber als Bruch.

Drittens:

Nicht

f (x)

sondern

g (x)!

Das ist nämlich jetzt die Parabel

p

.

Also,

g (x) = \frac{3}{16} \cdot (x^{2} - 16)

g (x) = \frac{3}{16} \cdot x^{2} - 3

Eigentlich musst du gar nix addieren. Bzw. du musst schon, aber erst die Flächeninhalte, wenn du sie denn hast. Die Schwanzflossen sind doch auch mit

f

und

g

beschrieben.

Jetzt musst du den Flächeninhalt bestimmen. Integrale etc.

elnino9 aktiv_icon

22:24 Uhr, 22.01.2014

Verstehe, aber warum ist der Wert denn jetzt positiv? Ich hab doch nichts anderes verändert als das der Schnittpunkt 3 ist und nicht 2 wie bei

f (x)

3 = a \cdot (0 - 4) \cdot (0 - 4)

3 = a \cdot (- 16)

3 = - 16 a | \cdot (- 1)

- 3 = 16 a | : 16

- \frac{3}{16} = a

So und jetzt durch integral den Flächeninhalt beider Gleichungen
Von

\int_{- 4}^{4} x d x

anonymous

22:56 Uhr, 22.01.2014

Der Scheitelpunkt der Parabel

p

liegt unterhalb der x-Achse und hat folglich die Koordinaten

S (0 | - 3)

Das heißt du musst

y = - 3

setzen.

Außerdem ist es offensichtlich, dass a positiv sein muss, denn die Parabel

p

ist nach oben geöffnet, also muss

a_{}

positiv sein.
Die Parabel

f

ist nach unten geöffnet, deshalb war

a_{}

auch

- \frac{1}{8},

also negativ.

Nein. Du integrierst nicht von

- 4

bis 4.

Schau dir mal an bei welchem

x

die Schwanzfloss beginnt und bei welchem

x

die Fischnase ist.

elnino9 aktiv_icon

22:05 Uhr, 23.01.2014

Oh stimmt sorry.

Von

- 4,5

bis

4,5

anonymous

22:08 Uhr, 23.01.2014

Nein! Wieso von

- 4,5

bis

4,5

?

Schaue dir mal das Bild des Fisches an. Wo sind die Koordinatenachsen? Und bis wie viele LE nach links geht der Fisch und wie viele nach rechts?

elnino9 aktiv_icon

22:17 Uhr, 23.01.2014

Heute war leider ein langer Tag tut mir leid.

- 5

und 4

anonymous

22:28 Uhr, 23.01.2014

Kein Problem. Weißt du wie du fortfahren musst?

elnino9 aktiv_icon

22:53 Uhr, 23.01.2014

Ich fasse

f (x)

und

g (x)

zusammen und berechne dann die flächenbilanz also das integral

= - \frac{5}{16} x^{2} + 5

F (4) - F (- 5)

[\frac{5}{48} x^{3} + 5 x]

Usw und dann hab ich

[26 \frac{2}{3}] - [36 \frac{47}{48}]

= - 10 \frac{5}{16}

Das sieht irgendwie falsch aus ich rechne grade habe Taschenrechner weil ich den nicht finde ..

anonymous

23:00 Uhr, 23.01.2014

Wie hast du denn

f

und

g

zusammen gefasst?

Es ist doch

f (x) = - \frac{1}{8} \cdot x^{2} + 2

g (x) = \frac{3}{16} \cdot x^{2} - 3

??

Rechne bitte nochmal.

elnino9 aktiv_icon

23:17 Uhr, 23.01.2014

Achso ich dachte ich muss das miteinander subtrahieren

. .

A = \int_{- 5}^{4} ((- \frac{1}{8} x^{2} + 2) - (\frac{3}{16} x^{2} - 3)) d x

= [\frac{1}{24} x^{3} + 2 x] - [\frac{1}{16} x^{3} - 3 x]

F (4) - F (- 5)

Du, muss ich jetzt für die erste Klammer für

x 4

und

- 5

einsetzen? Gleiches wie für die zweite Klammer ..

anonymous

23:25 Uhr, 23.01.2014

Nein. Nicht subtrahieren, denn eigentlich addierst du ja die Flächen. Was du vorher machst ist egal. Aber einfacher zum verstehen ist es, wenn du erst die Fläche unter

f

und dann die Flächer unter (bzw. zwischen

g

und der x-Achse) berechnest. Dann hast du ja beide Flächenstücke und die addierst du dann miteinander.

Du kannst natürlich auch erst die zwei Funktionen addieren und dann die Fläche davon berechnen. Das funktioniert aufgrund der Linearität von Integralen.

Ja. Erst

4_{}

und dann

- 5

Ma-Ma aktiv_icon

23:26 Uhr, 23.01.2014

Ich störe ja nur ungerne

. .

. Nehme an, Du bist bei

b)

Inhalt des Logos zwischen

f (x)

und

g (x)

.

Flächenbilanz heisst ja, positive und "negative" Flächen werden addiert.
Somit Fläche oben minus Fläche unten.
Würd ich nicht machen.

LG Ma-Ma

anonymous

23:30 Uhr, 23.01.2014

Ah. Da hat Ma-Ma vollkommen Recht. Natürlich musst du die voneinander abziehen wenn du erst die Funktion und dann das Integrad davon berechnen willst. War mit den Gedanken irgendwie nur im Positiven. Sorry.

elnino9 aktiv_icon

23:31 Uhr, 23.01.2014

Das verstehe ich jetzt nicht, denn ich habe immer subtrahiert .. Soll ich das jetzt addieren ??? Und ich hatte noch nie zwei eckige Klammern denn ich habe die zwei Funktionen sonst immer gleich zusammengerechnet und dann das integral gebildet ..

anonymous

23:36 Uhr, 23.01.2014

Naja. Das ist abhängig davon wie du vorgehst.

Möglichkeit 1:

Du berechnest alles separat.
Undzwar die Fläche unter

f

von

- 4

bis 4
die Fläche über

g

von

- 4

bis 4

die Fläche über

f

von

- 5

bis 4 von
und die Fläche unter

g

von

- 5

bis 4

Die Beträge von den Flächen kannst du dann problemlos zusammenaddieren und
hast die gesamte Fischfläche.

Ma-Ma aktiv_icon

23:37 Uhr, 23.01.2014

Die Flächenbilanz wollen wir doch garnicht !

Wir suchen die einzelnen Flächen.

1)

Fläche oberhalb der x-Achse

2)

Fläche unterhalb der x-Achse.

Es wird immer der Betrag genommen

| A |,

damit die Fläche positiv ist.

Diese beiden Flächen werden addiert.

elnino9 aktiv_icon

23:39 Uhr, 23.01.2014

Achso ok, mache ich dann später bin Tod müde wie berechne ich denn

c

und d?

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