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Monotonie und Beschränktheit prüfen Wurzelfunktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Grenzwert, Stetigkeit

 
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Hilf-mir-bitte-

Hilf-mir-bitte- aktiv_icon

23:39 Uhr, 07.02.2021

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Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschr ̈anktheit.
Geben Sie im Falle der Beschr ̈anktheit konkrete obere und untere Schranken an.

n€N cn= n2+4n-5-n

Durch einsetzen habe ich die Vermutung, dass sie monoton steigend ist, aber wie beweise ich das jetzt.
Gibt es ein typisches Vorgehen bei Wurzeln?
Ich bin im Thema noch sehr neu.

Ich weiß nur das es ja nach unten beschränkt sein muss mit 0, sonst bin ich gerade etwas planlos.
Bitte um einen Ansatz oder Erklärung, danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

00:25 Uhr, 08.02.2021

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Die Funktion x2+4x-5-x ist monoton steigend, weil ihre Ableitung x+2x+4x-5-1>0 ist.
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HAL9000

HAL9000

11:47 Uhr, 09.02.2021

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Auch möglich als Monotoniebeweis, wenngleich ein wenig aufwändiger in der Rechnung:

Für cn+1-cn=n2+6n-n2+4n-5-1 nachweisen, dass es positiv ist für alle n≥1. Das bedeutet äquivalent umformen

n2+6n>n2+4n-5+1, nun quadrieren (erlaubt, weil beide Seiten nichtnegativ sind)...


Die Beschränktheit sieht man etwa via cn=n2+4n-5-n<n2+4n+4-n=2.


> Ich weiß nur das es ja nach unten beschränkt sein muss mit 0.

Stimmt nicht, denn es ist c1=-1. Angesichts der bewiesenen Monotonie ist allerdings die Beschränktheit nach unten automatisch erfüllt via cn≥c1=-1 für alle n≥1.