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Parabelgleichung aus zwei Punkten bestimmen.
Schüler
Tags: Koordinaten, Parabelgleichung, Parabeln, Schnittpunkt
 
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Hi, in ca. einer Woche steht die mündliche Prüfung in Mathe an. An sich kein Problem doch gibt es immer Themenpunkte die ich nicht ganz verstanden habe. In diesem Fall Parabeln. Aufgabenstellung 1: Die nach oben geöffnete Normalparabel p1 verläuft duch die Punkte A(1|5) und (6|10). Die Parabel p2 hat die Gleichug y = -x² + 2. Besitzen die beiden Parabeln gemeinsame Punkte? Überprüfe durch Rechnung! Aufgabenstellung 2: Eine verschobene Normalparabel hat den Scheitel S(-3|-5). Eine Gerade verläuft durch die Punkte A (1|-3) und B(-5,5|3,5). Bestimme die Gleichung der Parabel und die Gleichung der Geraden. Aufgabenstellung 3: Bestimmen Sie die Gleichungen von zwei Parabeln, die sich in den Punkten A(0|4) und B(1|3) schneiden. In der Schule haben wir immer nur die abc-Formel benutzt. D. h. statt x² + px +q =0 haben wir ax² + bx + c = 0 benutzt... Danke im Voraus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Schnittpunkte bestimmen Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme |
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In der Schule haben wir immer nur die abc-Formel benutzt. Das sollte kein Problem sein. Wenn du nur diese Formel gewohnt bist, dann bleib eben dabei. Du hast uns bis jetzt drei Aufgabenstellungen aufgeschrieben. Jetzt wärs langsam an der Zeit, dass du beginnst, uns deine Gedanken dazu mitzuteilen, deine Rechnung, soweit du gekommen bist, hier einzutippen und dann deine Frage zu stellen, also uns zu sagen, an welcher Stelle du nicht weiter kommst und was dir unklar ist. |
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Naja mein Problem ist, dass ich nicht weiss, was ich mit den Punkten anstellen soll. Ich vermute, dass ich sie in eine Formel einsetzen muss.. Jedoch bin ich mir dabei natürlich nicht sicher und weiss auch trotz Formelsammlung nicht welche ich davon benutzen muss... Auch weiss ich nicht wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen soll. Was ist der erste Schritt? Wie fange ich an? Was muss zuerst gemacht werden? Edit: An sich ist das Thema nicht schwer, doch bei diesem Themenpunkt mit den Koordinatenpunkten bleibe ich hängen. |
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Naja mein Problem ist, dass ich nicht weiss, was ich mit den Punkten anstellen soll. Du beziehst dich da auf die erste Aufgabe!? Ich vermute, dass ich sie in eine Formel einsetzen muss. Ja. Da wäre zunächst eine Frage zu klären: Was ist eine "Normalparabel" und welche Gleichung hat sie? |
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Ich beziehe mich auch alle drei Aufgaben, da diese alle Koordinatenpunkte beinhalten. Was eine Normalparabel ist weiss ich.. Ich kann auch anhand einer Parabelgleichung erkennen, ob diese nach rechts oder links verschoben, nach oben oder unten geöffnet, oder nach oben oder unten verschoben ist... Wie gesagt das alles ist kein Problem - Nur weiss ich nichts mit den Koordinatenpunkten anzufangen. |
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Was eine Normalparabel ist weiss ich.. Dann gib ihre Gleichung an, denn die benötigen wir, wenn wir mit den gegebenen Punkten etwas anfangen wollen. |
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Normalparabel: y = a(x-d)² + e oder ganz allgemein y = ax² + c bzw. auch ohne c/e a = 1 |
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Normalparabel: a(x-d)² Wenn du davor noch ein "y =" schreibst ist es erst eine Gleichung. Und zwar von einer allgemeinen Parabel mit senkrechter Achse. Nicht von einer Normalparabel. oder ganz allgemein ax² ??????????? Was soll das jetzt sein???? Ahh! Jetzt kommt das Wichtigste. Denn genau das macht erst die Normierung aus. Eigentlich hat die Normalparabel ja nur die Gleichung war vielfach (und so wohl auch bei euch) bezeichnet man auch die Parabeln, die aus dieser durch Schiebungen und Spiegelungen entstehen, als Normalparabeln. Es könnte aber auch sein. Warum ist das in deinem Fall nicht so? Du hast es in der ersten Aufgabe also mit eine Parabel mit der Gleichung zu tun und weißt, dass die Punkte und auf der Parabel liegen sollen. Was bedeutet das, wenn du eine Funktionsgleichung hast und ein gegebener Punkt liegt auf dem Funktionsgraphen? Oder anders gefragt: Wie kannst du überprüfen, ob der Punkt auf dem Graph von liegt? |
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"Es könnte aber auch a = -1 sein. Warum ist das in deinem Fall nicht so?" - Weil in der Aufgabenstellung steht, dass es eine nach oben geöffnete Parabel ist. "Wie kannst du überprüfen, ob der Punkt P(3/4) auf dem Graph von y = 2x² - 4x - 1 liegt?" - Genau hier komme ich nicht weiter.. - Wie kommst du auf die Gleichung y = 2x² - 4x - 1? |
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DELETED Doppelpost |
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Weil in der Aufgabenstellung steht, dass es eine nach oben geöffnete Parabel ist. Richtig! Anstelle von also der Scheitelform, könntest du auch verwenden. Damit wird die Rechnung vl etwas einfacher. Grundsätzlich funktionieren aber beide Formen. Wie kommst du auf die Gleichung 2x² ? Frei erfunden. Die Gleichung und der Punkt haben nichts mit deinen Aufgaben zu tun. Es geht mir nur um das Verständnis des Zusammenhangs "Punkte am Graphen" und "Funktionsgleichung". Versuche also mal (zunächst losgelöst von deiner Aufgabe) die folgenden Fragen zu beantworten: . Der Punkt liegt auf dem Graph von . Wie lautet seine fehlende Koordinate ? . Liegt der Punkt auf der Geraden (dem Graph von ? . Der Punkt liegt auf dem Graph von . Wie ist zu wählen? |
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1) p: y = x² + 5. Der Punkt P(2|yp) liegt auf dem Graph von p. Wie lautet seine fehlende Koordinate yp? - Ich würde sagen P(2|5), da c(5) in diesem Fall den Y-Wert angibt. Bei 2) und 3) brauch ich noch Hilfe.. Die "+4" verwirrt mich bei beiden Aufgaben. Muss der Y-Wert nicht +4? Warum die 1?(3|1) |
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x² . Der Punkt P(2|yp) liegt auf dem Graph von . Wie lautet seine fehlende Koordinate yp? Ich würde sagen da in diesem Fall den Y-Wert angibt. Autsch! Wie kommst du auf die Idee, dass die y-Koordinate von gleich 5 sei? Weil in der Funktionsgleichung hinten steht? Dieser Logik folgend müssten ja alle Punkte auf dieser Parabel die y-Koordinate 5 haben. Dann würden aber alle Punkte auf einer waagrechten Linie in der Höhe liegen und das ist sicher nicht der Graph dieser Parabel. Eine Funktionsgleichung gibt einen Zusammenhang zwischen den und y-Werten ALLER Punkte des Graphen der Funktion an. In diesem Beispiel gilt also für alle Punkte die auf dem Graphen der Funktion, also der Parabel liegen. Du hast doch sicher schon die Graphen allgemeiner Funktionen gezeichnet, von denen du nicht von Haus aus wusstest, wie sie aussehen. Und dazu hast du dir höchstwahrscheinlich eine Wertetabelle gemacht. Du hast dir also irgend einen x-Wert gewählt und den zugehörigen y-Wert mithilfe der Funktionsgleichung ausgerechnet und den Punkt dann im Koordinatensystem eingetragen. Es spricht nichts dagegen, genau so auch hier vorzugehen. Die x-Koordinate von ist und somit muss sich die y-Koordinate mit ergeben. Also einfach in die Funktionsgleichung einsetzen. . Würde ich dich nun fragen, ob der Punkt auf der Parabel liegt, könntest du diese Fragen sicher verneinen, weil . Jetzt ist meine Aufgabe vermutlich auch leicht lösbar. Wie sieht es nun mit meiner Aufgabe aus? Denn damit kommen wir dann schon wieder dorthin, wo wir eigentlich hin wollen. Wie kannst du in dieser Aufgabe den Parameter berechnen. |
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2) y = 3x + 4. Liegt der Punkt P(3/1) auf der Geraden (dem Graph von f)? - Nein, da y = 3(3) + 4 y = 9 + 4 y = 13 3) g: y = b*x+4. Der Punkt P(3/1) liegt auf dem Graph von g. Wie ist b zu wählen? y = b*3+4 b = -1, da (-1)*3+4 = 1 Meine Frage zu 3) - Wie könnte ich das in der Gleichung ausrechen, sodass am Ende stehen würde [b = -1]? |
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Meine Frage zu Wie könnte ich das in der Gleichung ausrechen, sodass am Ende stehen würde ? Du setzt einfach in der Funktionsgleichung für die Zahl 3 ein und für die Zahl also die Koordinaten des Punktes, der auf dem Graphen liegen soll. Das ergibst die Gleichung die du sicher leicht zu umstellen kannst, ohne probieren und raten zu müssen ;-) Jetzt sind wir auch schon wieder bei deiner Aufgabe Du hast die Funktionsgleichung oder du verwendest . In jedem Fall hast du zwei Parameter zu bestimmen. Zum Glück kennst du aber auch zwei Punkte, die auf der Parabel liegen sollen. Also setz die Koordinaten beider Punkte ein und du erhältst so zwei Gleichungen. Dieses Gleichungsystem kannst du nun nach den Parametern und bzw. und auflösen und hast damit die Gleichung der ersten Parabel . |
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Ahh sehr gut.. Danke! Ich habe die Koordinatenpunkte (1|5) anstatt für b und c bzw. d und e für x und y eingesetzt. Daran lag der Fehler.. Dann habe ich da stehen: y = x² + x + 5 und y = x² + 6x + 10 Müsste ich jetzt im nächsten Schritt beide Gleichungen gleichsetzen und die Mitternachtsformel anwenden? Also x² + x + 5 = -x² + 2 und x² + 6x + 10 = -x² + 2 |
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NEIN! Du sollst die Koordinaten natürlich für und einsetzen und nicht für und Wie lauten denn dann die beiden Gleichungen, die du erhältst (das ist dann genau der Punkt, wo es mit ein wenig einfacher geht). Du hast dann zwei Gleichungen, die nur und (oder eben und je nachdem welche Form der Parabelgleichung du verwenden möchtest) enthalten. Da kommt kein und mehr vor, denn dafür hast du ja jeweils die Koordinatenpunkte eingesetzt. Wenn du ohnedies schon eingesetzt hattest, hätten wir vermutlich eine Menge Zeit sparen können, wenn du deinen diesbezüglichen Ansatz bereits am Beginn gepostet hättest. Wie lauten also die beiden Gleichungen, die du nach dem Einsetzen erhältst? |
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Moment mal... Wenn ich diese Formel (y = ax² + bx + c) verwende und x und y einsetze erhalte ich: 5 = 1 * 1² + b * 1 + c 5 = 1 + b + c? 10 = 1 * 6² + b * 6 + c 10 = 36 + 6b + c? Wie soll ich nun nach b oder c auflösen? |
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Wie soll ich nun nach oder auflösen? Nach beiden! Du hast ein Gleichungssystem vorliegen und in deinem Fall sogar ein lineares. Dafür hast du sicher schon einmal eine ganze Reihe von Lösungsverfahren (Gleichsetzen, Einsetzmethode, Eliminiationsverfahren, speziell Gauß, Cramer, kennen gelernt. Natürlich kannst du auch beide Gleichungen zB nach auflösen und die Terme in gleichsetzen. Ich würde erst mal ein wenig aufräumen und dann die beiden Gleichungen subtrahieren um zu eliminieren. Du solltest dann und erhalten. Verwendest du die Scheitelform dann bekommst du und auch hier würde ich die beiden Gleichungen subtrahieren, um dann aus die x-Koordinate des Parabelscheitels mit zu errechnen. ergibt sich dann leicht durch einsetzen . |
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Danke! Du rettest mir meine Note.. :-D) |
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bitte abhaken Gruß ledum |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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