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Partialbruchzerlegung durchführen

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Sonstiges

Tags: Integral, Partialbruchzerlegung

meierp23x aktiv_icon

22:47 Uhr, 12.05.2022

Hallo, es soll hier die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden, um das Integral zu bestimmen

\int_{}^{} \frac{x^{2} + 64}{64 x - 48 x^{2} + 12 x^{3} - x^{4}} d x

Um dies zu machen, benötigtt man die Nullstellen des Nenners. Diese habe ich bereits bestimmt;
Durch ausklammern von

- x

kann man 0 bestimmen
Des Weiteren durch probieren erlangt man die 4

Dann kann man

(x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) : (x - 4)

teilen und kriegt für

x 3, 4 = - 4

heraus

Wie handhabe ich dies nun bei der Partialbruchzerlegung wenn ich zwei gleiche Nullstellen habe?
In diesem Fall

- 4

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

22:57 Uhr, 12.05.2022

Hallo,

siehe etwa mathepedia.de/Beispiele_Partialbruchzerlegung.html

Erster Treffer bei einer bekannten Suchmaschine mit den Suchwörtern "partialbruchzerlegung doppelte nullstelle".

Mfg Michael

meierp23x aktiv_icon

23:16 Uhr, 12.05.2022

Also setze ich in meinem Fall das so ein?

\frac{x^{2} + 64}{64 x - 48 x^{2} + 12 x^{3} - x^{4}} d x = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{{(x + 4)}^{2}} + \frac{C}{x - 0} + \frac{D}{x - 4}

Und kann im Anschluss normal weitermachen

rundblick aktiv_icon

23:24 Uhr, 12.05.2022

.
Ansatz :

\frac{- x^{2} - 64}{x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x} = - \frac{x^{2} + 64}{x \cdot {(x - 4)}^{3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4} + \frac{C}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{D}{{(x - 4)}^{3}}

im Anschluss normal .. :-) .. weitermachen.
.

meierp23x aktiv_icon

00:06 Uhr, 13.05.2022

= A (x - 4) {(x - 4)}^{2} {(x - 4)}^{3} + B (x) {(x - 4)}^{2} {(x - 4)}^{3} + C (x) (x - 4) {(x - 4)}^{2} + D (x) (x - 4) {(x - 4)}^{2}

Muss man dann alle Klammern mit Exponenten aus multiplizieren und danach alles nochmal aus multiplizieren mit den Variablen?
Ist dann überhaupt der Koefffizentenvergelich möglich?

HAL9000

07:48 Uhr, 13.05.2022

@meierp23x

Es ist NICHT

x_{3, 4} = - 4

und damit zweifache Nullstelle -4, sondern

x_{3, 4} = 4

und damit insgesamt dreifache Nullstelle 4. Womit der Ansatz von rundblick begründet ist.

Und es ist nicht nötig, alles mit dem PRODUKT der Nenner durchzumultiplizieren - es reicht das kgV, und das ist hier schlicht

x (x - 4)^{3}

, mit Ergebnis

- x^{2} - 64 = A (x - 4)^{3} + B x (x - 4)^{2} + C x (x - 4) + D x

meierp23x aktiv_icon

14:54 Uhr, 13.05.2022

- x^{2} - 64 = A {(x - 4)}^{3} + B x {(x - 4)}^{2} + C x (x - 4) + d x

= A (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) + B (x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) + C (x^{2} - 4 x) + D x

= x^{3} (A + B) - x^{2} (12 A + 8 B - C) + x (48 A + 16 B - 4 C + D) - 64 A

Wie stelle ich daraus das Gleichungssystem auf?
Das wäre meine Idee zum Gleichungssystem

a + b = 0

12 A + 8 B - C = - 1

48 A + 16 B - 4 C + D = 0

64 A = - 64

abakus

14:57 Uhr, 13.05.2022

Schon wieder???
Lies die Antworten auf deine Frage hier:
www.mathelounge.de/937598/partialbruchzerlegung-durchfuhren

Und was heißt: "Das wäre meine Idee zum Gleichungssystem"
Das war nicht deine Idee, sondern ein Plagiat von gleicher Stelle.

HAL9000

15:17 Uhr, 13.05.2022

@meierp23x

Bei der zweiten und vierten Gleichung würde ich nochmal ganz genau über das Vorzeichen der rechten Seiten nachdenken.

@abakus

Halten wir mal den Ball insoweit flach, dass im verlinkten Thread eine andere Methode zur Bestimmung der Koeffizienten

A, B, C, D

angewandt wurde, nämlich Einsetzungsmethode statt Koeffizientenvergleich.

meierp23x aktiv_icon

15:50 Uhr, 13.05.2022

@HAL
Vielen Dank, wenn ich nun das GLS auflöse, komm ich nun auf die richtigen Lösungen.

a = 1

b = - 1

c = 3

d = - 20

@abakus

Da habe ich mich wohl fälschlich ausgedrückt. Jedoch hatte ich noch einige Fragen zum GLS.
Die Einsetzungsmethode wurde bereits im anderen Thread ausführlich erläutert.

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