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Potenzen umschreiben

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Exponentialfunktion, Folgen, Potenz, Reihen

decheka aktiv_icon

12:23 Uhr, 15.07.2010

Hallo,

kann mir jemand den Schritt erklären?!

$e^{n + 1} + e^{- (n + 1)} = e (1 + e^{- (2 n + 2)})$

Mir ist klar, dass man negative Potenzen als Bruch schreiben kann, aber den Rest dieser Umformung ist mir unklar.

Danke für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

12:59 Uhr, 15.07.2010

...dieser Umformungsschritt lässt sich nicht erklären, da er offensichtlich falsch ist.

Probe mit

n = - 1

ergibt:

e^{n + 1} + e^{- (n + 1)} = e \cdot (1 + e^{- (2 \cdot n + 2)})

e^{- 1 + 1} + e^{- (- 1 + 1)} = e \cdot (1 + e^{- (2 \cdot (- 1) + 2)})

e^{0} + e^{- 0} = e \cdot (1 + e^{- (0)})

1 + 1 = e \cdot (1 + 1)

2 = 2 \cdot e

. .

. offensichtlich falsch.

Es ist:

e^{n + 1} + e^{- (n + 1)}

= (e^{2 \cdot n + 2} + 1) \cdot e^{- (n + 1)} = \frac{e^{2 \cdot n + 2} + 1}{e^{n + 1}}

;-)

vulpi aktiv_icon

13:01 Uhr, 15.07.2010

Hallo !
Ich denk' , dass sich da der Fehlerteufel eingeschlichen hat.

Denn der Term in der Klammer

1 + e^{- (2 n + 2)}

ergibt sich, wenn aus der Summe

e^{n + 1}

ausgeklammert wird, und nicht

e

e^{n + 1} + e^{- (n + 1)} = e^{n + 1} (1 + \frac{e^{- (n + 1)}}{e^{n + 1}})

Division mit gleicher Basis

\Rightarrow

Subtraktion der Exponenten:

= e^{n + 1} (1 + e^{- (n + 1) - (n + 1)})

= e^{n + 1} (1 + e^{- 2 (n + 1)})

= e^{n + 1} (1 + e^{- (2 n + 2)})

mfg

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