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Rechteckflächen als Annäherung (Integralrechnung)

Schüler Sonstige Berufsschule, 11. Klassenstufe

Tags: Annäherung, Integral, Rechtseckflächen

wienalone aktiv_icon

12:57 Uhr, 12.09.2009

Hallo!

Ich habe eine Frage zur Annäherung an die Integralrechnung mit Rechteckflächen.

Es handelt sich um die Funktion

f (x) = x^{2}

.

Unterhalb der Funktion befinden sich die Abschnitte a und

b

. Es ist der Flächeninhalt annähernd zu bestimmen.

Wenn man die Fläche in

n

gleich große Teile aufteilt, erhält man für die Länge eines solchen n-Teiles:

L = \frac{b - a}{n}

.
Jetzt brauche ich noch die Höhe. Die finde ich durch die Funktion von

x

(also

y) :

Ganz links hat das erste Rechteck die Höhe

f (a)

. Geht man ein n-Teil weiter, folgt

f (a + h), f (a + (2 \cdot h), . .

. Am Ende ist die Höhe des letzten n-Teils

f (a + (n - 1) \cdot h)

.

Hierzu die erste Frage:
Dass

n - 1

gefordert wird, liegt doch daran, dass ich immer den linken Berührpunkt des n-Teiles mit der Funktion betrachte, oder? Ansonsten müsste dieses

n

noch dazugerechnet werden und dürfte nicht abgezogen werden.

Dann geht es weiter:
Ich soll ja die Summe aller Rechteckflächen bestimmen. Bei mir steht nun:
An

= h \cdot f (a) + h \cdot f (a + h) + . .

+ h \cdot f (a + (n - 1) \cdot h)

Die Zusammenfassung verstehe ich (wenn auch nicht den letzten Term, weil der ja zu meiner ersten Frage gehört).

Nun wurde mit dieser Gleichung aber weiter gerechnet: (meine zweite Frage)
An

= \frac{b - a}{n} \cdot (a^{2} + {(a + \frac{b - a}{n})}^{2} + {(a + 2 \cdot \frac{b - a}{n})}^{2} + . .

+ {(a + (n - 1) \cdot \frac{b - a}{n})}^{2}

h

in jedem Term vorkam, wurde es durch

\frac{b - a}{n}

ersetzt und vor die große Klammer geschrieben.
In der Klammer selbst kommen die drei Terme wieder vor:
1.

f (a) \Rightarrow (a^{2} + {(a + \frac{b - a}{n})}^{2})

f (a + h) \Rightarrow {(a + 2 \cdot \frac{b - a}{n})}^{2}

f (a + (n - 1) \cdot h) \Rightarrow {(a + (n - 1) \cdot \frac{b - a}{n})}^{2}

1 .)

Wieso das

a^{2};

wieso insgesamt nicht einfach nur a?
Zu

2 .)

Woher kommt das "2*" und wieso das Quadrat nach der Klammer?
Zu

3 .)

Wieso steht hinter der Klammer ein Quadrat?

Ich verstehe das nicht

: - (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Maulwurf567 aktiv_icon

15:02 Uhr, 12.09.2009

Hm, es ist etwas verwirrend das du zuerst die Länge des n-Teiles mit

L

bezeichnest und dann plötzlich mit

h

(was ich für die Höhe genommen hätte...) Aber gut, ich bleibe ab jetzt bei

h = \frac{b - a}{n}

.

Zu deiner ersten Frage:
Es muss deshalb

n - 1

sein damit -wie du gesagt hast- die Höhe der linken Ecke berechnet wird. Nimmst du

n

(und damit die rechte Ecke) steht das Rechteck ja ein Stück über den Graphen hinaus. Bei genügend kleinem (infinitestimalen)

h

verschwindet der Unterschied aber.

Zum Rest:

Wenn du das

h

ausklammerst erhältst du:

A_{n} = h \cdot (f (a) + f (a + h) + f (a + 2 h) + f (a + 3 h) + ... + f (a + (n - 1) \cdot h))

Jetzt weißt du das

f (x) = x^{2} :

A_{n} = h \cdot (a^{2} + {(a + h)}^{2} + {(a + 2 h)}^{2} + {(a + 3 h)}^{2} + ... + {f (a + (n - 1) \cdot h)}^{2})

Jetzt noch das

h

durch

\frac{b - a}{n}

ersetzen und du bist bei deiner Lösung:

A_{n} = \frac{b - a}{n} \cdot (a^{2} + {(a + \frac{b - a}{n})}^{2} + {(a + 2 \cdot \frac{b - a}{n})}^{2} + {(a + 3 \cdot \frac{b - a}{n})}^{2} + ... + {(a + (n - 1) \cdot \frac{b - a}{n})}^{2})

Deine 3 herausgeschrieben Terme stimmen leider nicht, weil:

f (a) \to a^{2}

f (a + h) \to {(a + h)}^{2}

f (a + (n - 1) \cdot h) \to {(a + (n - 1) \cdot h)}^{2}

Das Quadrat hinter der Klammer kommt also von der Funktion.

LG Maulwurf

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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