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Rekonstruktion in Integralrechnung

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: Integral, Rekonstruktion einer funktion 2. grades

StatusQuo aktiv_icon

17:00 Uhr, 25.10.2011

Hallo,
meine Frage bezieht sich auf die Anwendung der Integralrechnung.
Die Übung lautet wie folgt:
Eine quadratische Parabel schneidet die y-Achse bei

- 1

und nimmt ihr Minimum bei

x = 4

an. Im 4. Quadranten liegt unterhalb der x-Achse über dem Intervall

[0; 1]

ein Flächsenstück zwischen der Parabel und der x-Achse, dessen Inhalt

12

beträgt. Um welche Kurve handelt es sich?

Mit dem 4. Quardranten und der Minimumstelle kann ich nichts anfangen. Ich weiß, dass ich alles was gegeben ist an eine Bedingung knüpfen kann und anschließend durch das Additionsverfahren verrechnen kann.
Mein Ansatz für die Parabel ist: f(x)=ax²+bx+c.

Vielen Dank für alle Antworten,
StatusQuo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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17:09 Uhr, 25.10.2011

hallo, ich probiers mal:
Du solltest Deine Ansatz mal
Ableiten (damit kannst Du die Bedingung für das Minimum unterbringen)
und
Integrieren (damit bekomst Du die Bedingung für die Fläch unter.

also mach bitte mal:

f' (x)

und

F (x)

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17:14 Uhr, 25.10.2011

f'(x)=2ax+b
F(x)=(1/3)ax^2+(1/2)bx^2+cx

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17:17 Uhr, 25.10.2011

genau.
eigentlich ist

F (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + \frac{1}{2} b x^{2} +

+ d

aber da es sich ja bei dieser bedingung um ein bestimmtes Intrgral mit der Angabe einer Fläche von

12

handelt, ist das hier nicht so wichtig.

aber:
Beginnen wir mit der Bedingung, die mit der Ableitung gebildet werden kann.
hast Du eine Idee?

PS: wenn Du

z . B

zwischen

c

und

x

ein leerzeichen eifühst, dann wird es schöner dargestellt.

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17:25 Uhr, 25.10.2011

Extremwerte werden doch in diesem Fall mit

f' (4) = 0

ausgerechnet, da die Minimumstelle an

x = 4

liegt.

f' (4) = 0 \Leftrightarrow 2 a \cdot 4 + b = 0

Aber wenn ich das so ausrechne, bekomme ich ja zwei Variablen heraus..

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17:28 Uhr, 25.10.2011

gut :-)
Deine Bedingung aus der Ableitung ist also

8 a + b = 0

die lassen wir jetzt mal so stehen.

Jetzt gibt es noch eine Bedingung die aus der Angabe
"Eine quadratische Parabel schneidet die y-Achse bei −1"
entsteht.
kommst Du auch auf diese 2.Bedingung?

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17:35 Uhr, 25.10.2011

f (0) = - 1

?
oder rechne ich dann den wert auf der x-Achse aus?

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17:37 Uhr, 25.10.2011

"oder rechne ich dann den wert auf der x-Achse aus?"
wieso denn diese Frage.

f (0)

heisst doch "

x = 0

" und das ist die

y

-Achse und wenn dieser Wert

- 1

ist, dann heisst das doch wie Du richtig geschrieben hast:

f (0) = - 1

Der Ansatz stimmt :-)
nun setz

f (0) = - 1

ein in

f (x) = a x^{2} + b x + c

was kommt dabei für eine Bedingung raus?

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17:41 Uhr, 25.10.2011

Ich weiß gerade nicht so recht wie ich das machen soll.

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17:42 Uhr, 25.10.2011

na, dann mach ich das mal vor:

f (0) = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = - 1

na, kommt Dir doch bekannt vor?
;-)

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17:47 Uhr, 25.10.2011

ja das hab ich schon mal gesehen :-)
also ist

c = - 1

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17:49 Uhr, 25.10.2011

bingo!
Das ist also unsere zweite Bedingung.

jetzt das schwerste, das mit dem Integral:
Die ist der KLEINE Unterschied zwischen einem "bestimmten Integral" und der "Fläche" die dieses bestimmte Integral darstellt bewusst?

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17:55 Uhr, 25.10.2011

Hat das was mit dem Betrag zu tun, dass das Integral eine Flächenbilanz angibt und nicht die gesamte zu errechnende Fläche? Wenn ein Teil der Funktion unterhalb der x-Achse liegt, dann wird dieses Ergebnis doch von der positiven Fläche abgezogen. Daher die Betragsstriche. Was das gemeint?

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18:01 Uhr, 25.10.2011

genau :-)
mit anderen Worten:
Eine Fläche die unter der x-Achse liegt kommt beim bestimmten Integral erstmal "negativ" raus, deshalb braucht man die Betragsstriche.

In der Angabe steht:
"Im 4. Quadranten liegt unterhalb der x-Achse über dem Intervall

[0; 1]

ein Flächenstück zwischen der Parabel und der x-Achse, dessen Inhalt

12

beträgt"
das erlaubt uns nun einen Trick, um Betragsstriche zu umgehen. Kommst Du drauf?
Also was müssen wir mit der

12

in unserer dritten Bedingung machen?

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18:07 Uhr, 25.10.2011

Als negative Zahl einsetzen? Also:

- 12

.
Was ist eigentlich mit dem 4. Quadranten gemeint?

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18:07 Uhr, 25.10.2011

Als negative Zahl einsetzen? Also:

- 12

.
Was ist eigentlich mit dem 4. Quadranten gemeint?

funke_61 aktiv_icon

18:16 Uhr, 25.10.2011

genau :-)
In der Bedingung, die aus dem bestimmten Integral folgt, setzt Du

= - 12

dann bekommst Du die korrekte dritte (und letzte) Bedingung

zum vierten Quadranten:
das ist einfach eine Ortsangabe, WO im Koordinatensystem etwas sein soll.
wenn Du zB. den Einheitskreis betrachtest
also den Ursprung als Mittelpunkt des Einheitskreises nimmst, dann sind
1. Quadrant 0 bis 90° bzw. 0 bis

\frac{π}{2}

2. Quadrant 90° bis 180° bzw.

\frac{π}{2}

bis

π

3. Quadrant 180° bis 270° bzw.

π

bis

\frac{3 π}{2}

4. Quadrant 270° bis 360° bzw.

\frac{3 π}{2}

bis

2 π

klar?

StatusQuo aktiv_icon

18:27 Uhr, 25.10.2011

- 12 = \int_{0}^{1}

(ax²+bx-1)dx

- 12 =

[

1/3a³+1/2bx²-0,5x

]_{0}^{1}

stimmt das soweit, oder falscher ansatz?

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18:33 Uhr, 25.10.2011

fast.

- 12 = \int_{0}^{1} (a x^{2} + b x - 1) d x

stimmt
Du hast

c = - 1

sehr gut gleich mit einbezógen, das erspart Arbeit.

beim Integrieren hast Du aber einen kleinen Fehler gemacht.
Was ist denn das Integral von

- 1

?
vergleich doch mal mit oben, wo Du die allgemeine Stammfunktion

F (x)

schon angeschrieben hast ;-)

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18:36 Uhr, 25.10.2011

- 12 =

[

1/3a³+1/2bx²-x

]_{0}^{1}

funke_61 aktiv_icon

18:37 Uhr, 25.10.2011

bingo!
aber das

a^{3}

ist ein a und nach dem a fehlt noch das

x^{3}!

das ist aber sicher nur ein Flüchtigkeitsfehler, denn oben bei

F (x)

hast Du es ja richtig genmacht. (oh, da war ein

x^{2}

sorry, das muss natürlich oben auch

x^{3}

heissen!)
also:

- 12 = {[\frac{1}{3} a x^{3} + \frac{1}{2} b x^{2} - x]}_{0}^{1}

jetzt die Grenzen einsetzten

. .

funke_61 aktiv_icon

18:53 Uhr, 25.10.2011

leider muss ich jetzt gehen

. .

.
zur Kontrolle:
die korrekte dritte Bedingung ist

\frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b = - 11

Schließlich ergibt sich nach Lösung des Linearen Gleichungssystems

8 a + b = 0

\frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b = - 11

die Funktionsgleichung

f (x) = 3 x^{2} - 24 x - 1

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19:02 Uhr, 25.10.2011

- 12 = [\frac{1}{3}

ax³+

\frac{1}{2}

bx²-x

]_{0}^{1}

- 12 = \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b - 1

- 11 = \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b

- 5,5 = \frac{2}{3} a + b

b = \frac{2}{3} a + 5,5

(II) in

(I)

8 a + b = 0

(Bedingung von oben)

8 a + \frac{2}{3} a + 5,5 = 0

a = - \frac{33}{52}

8 \cdot (- \frac{33}{52}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{33}{52}) + 5,5 = b

b = 0,84

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19:11 Uhr, 25.10.2011

Fehler gefunden und behoben.
Vielen Dank! :-)

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