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Rotation um die Y-Achse Intervallsgrenzen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis, Integral, Intervall, Rotation um die Y-Achse, Rotationskörper

 
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mathege

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20:18 Uhr, 05.12.2010

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hey habe ein paar fragen zu rotationskörpern.. und zwar geht es mir um die intervallsgrenzen..

1) wenn ich eine Fläche um die x achse rotieren lasse sind die Grenzen x- Werte... was ist aber wenn es ein nach oben offenes intervall ist? Brauch ich dann noch eine parallele zur x-achse als grenze und wie rechne ich dann

2) Muss die randfunktion immer der ÄUSSERE RAND des rotationskörpers sein oder kann es wie bei einem hohlkörper auch den inneren darstellen?

3) ich kann mir schlecht graphisch vorstellen warum wenn man bei ienr rotation um y die umkehrfunktionsbildet die intervalls grenzen dann funktionswerte von der ursprünglichen, nicht umkehrfunktion, sind?

liebe grüßee
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort
QPhma

QPhma aktiv_icon

23:41 Uhr, 05.12.2010

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Hallo mathege,

1) Wenn das x-Intervall nach oben (oder nach unten) offen ist, ergibt das keinen endlichen Körper mehr, also keinen Körper, wie man ihn sich gemeinhin vorstellt. Entlang der Rotationsachse wäre dieser Körper unendlich ausgedehnt. Trotzdem kann ein solcher Körper ein endliches Volumen haben. Wenn die erzeugende Funktion für x→∞ schnell genug gegen 0 geht, ist das Integral endlich. Der Körper hat dann auf der x-Achse eine unendlich lange, hauchdünne Spitze. Eine Parallele zur x-Achse als Grenze brauchst Du nicht.

2) Die Randfunktion, oder erzeugende Funktion, kann sowohl eine äußere als auch eine innere Rotationsfläche beschreiben. Wenn Du das Volumen eines Hohlkörpers berechnen sollst, brauchst Du zwei Randfunktionen, eine für die äußere Fläche und eine für die innere. Du rechnest dann für jede Randfunktion das Volumen aus und ziehst zum Schluss vom Volumen des vollen Körpers (äußere Randfunktion) das Volumen des inneren Hohlraums (innere Randfunktion) ab.

3) Wenn Du einen Rotationskörper berechnen sollst, der bei Rotation einer Kurve um die y-Achse entsteht, vertauschen sich die Rollen von x- und y-Achse. y wird zur unabhängigen Variablen und mit der Gleichung der Randkurve wird zu jedem y ein x-Wert bestimmt. Diese Vertauschung bedeutet aber das selbe wie das Aufstellen der Umkehrfunktion zu der ursprünglich gegebenen Gleichung der Randkurve. Die Randwerte müssen dann auch als y-Werte bekannt sein, also Anfangs- und Endwert des Körpers entlang der Rotationsachse. Wenn in einer Aufgabe doch mal x-Werte gegeben sind, muss man sie mit Hilfe der Gleichung der Randkurve in y-Werte umrechnen.

Gruß

QPhma