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Rundecken Winkel und Mittelpunkt bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrie, kurven, Schnittpunkt

GeheimAgent001254 aktiv_icon

14:32 Uhr, 25.05.2023

Hallo,

ich habe mal wieder gar keine Ahnung wie ich hier rangehen kann. Angenommen zwei Kreise (Maße bekannt) schneiden sich. Man wähle einen Schnittpunkt und denke sich eine Seite weg.
Dann hat man eine Art Ecke.

Wie könnte ich diese Ecke abrunden? Sprich einen dritten Kreis (gegebener Radius) so mit den Kurven schneiden, dass ein glatter Übergang von Kreis 1 zu Kreis3 zu Kreis 2 die Ecke "abrundet"

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

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Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

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calc007

15:00 Uhr, 25.05.2023

Wer ein bisschen in Geo aufgepasst hat, der hätte sicherlich sowas vor Augen gebracht:

GeheimAgent001254 aktiv_icon

20:46 Uhr, 26.05.2023

Ah cool, dann muss ich aber einen Schnittpunkt schon kennen, oder?

calc007

21:35 Uhr, 26.05.2023

Du sprichst in Rätseln.
Versuch doch mal klar zu machen, was du willst.

PS: wenn ich präzisieren darf:
Du müsstest uns schon wissen lassen, was du willst.
Ich hatte verstanden, dass du

>

die Maße und Lage der ursprünglichen (schwarzen) Kreise kennst,

>

den Radius des dritten (roten) Abrundungs-Kreises kennst.

Willst du rechnen,
oder willst du zeichnerisch lösen?

Mach dir klar:
Die Strecke

M 1 < > M 3

hat die Länge

(R_{1} + R_{3}),

die Strecke

M 2 < > M 3

hat die Länge

(R_{2} + R_{3})

.
Das reicht zum Konstruieren.

GeheimAgent001254 aktiv_icon

01:49 Uhr, 27.05.2023

Ja ich wollte wissen wie man das rechnet.

Also was ich habe ist

M_{1} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ y_{1} \end{array})

mit

R_{1}

und

M_{2} = (\begin{array}{c} x_{2} \\ y_{2} \end{array})

mit

R_{2}

und

R_{3} < < R_{1}, R_{2}

Gesucht ist dann

M_{3} = (\begin{array}{c} x_{3} \\ y_{3} \end{array})

als auch der Winkel über den K3 aufgespannt ist.

Aber jetzt verstehe ich,

M_{3}

ist der Schnittpunkt von

M_{1}

mit

R_{1 n e u} = R_{1} + R_{3}

und

M_{2}

mit

R_{2 n e u} = R_{2} + R_{3}

Diese Kreise sind quasi gegeben mit

(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} = R_{1 n e u}^{2}

(x - x_{2})^{2} + (y - y_{2})^{2} = R_{2 n e u}^{2}

Dann kriege ich zwei

(x, y)

raus, die beide Gleichungen erfüllen. Da muss ich erst bisschen überlegen, Gleichung lösen und so...

Roman-22

02:45 Uhr, 27.05.2023

>

Dann kriege ich zwei

(x, y)

raus, die beide Gleichungen erfüllen. Da muss ich erst bisschen überlegen, Gleichung lösen und so...

Ja, da gibt es zwei Schnittpunkte.
Allerdings würde ich dir abraten, das Gleichungssystem allgemein symbolisch lösen zu wollen.
Im Anhang der Ausdruck, den mein CAS für die x-Koordinate eines der beiden Schnittpunkte liefert ;-)
Mit konkreten Zahlenwerten ist das dann doch etwas freundlicher zu rechnen - vor allem dann, wenn man diese Aufgabe einem elektronischen Rechenknecht übertragen kann.

calc007

09:21 Uhr, 27.05.2023

Mit einer Koordinaten-Transformation wird's eigentlich sehr überschaubar.
Wenn du wählst:

M_{1}

auf den Koordinaten

(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

M_{2}

auf den Koordinaten

(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ m \end{matrix})

R_{1} + R_{3} = a

R_{2} + R_{3} = b

dann liegt der Mittelpunkt

M_{3}

auf:

v_{3} = \frac{a^{2} + m^{2} - b^{2}}{2 \cdot m}

u_{3} = \sqrt{a^{2} - v_{3}^{2}}

Roman-22

13:44 Uhr, 27.05.2023

Ja, spezielle Lagen des Koordinatensystems und abkürzende Substitutionen können die Rechnung vereinfachen.
Leider ändert das nichts daran, dass dann halt die Rücktransformation entsprechend "unfreundlich" ist und letztlich will man bei allgemeiner symbolischer Rechnung ja die Koordinaten

x_{3}

und

y_{3}

ausgedrückt ausschließlich durch

x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, R_{1}, R_{2}

und

R_{3}

. Und davon, das in Angriff zu nehmen, würde ich daher nach wie vor abraten ;-)

GeheimAgent001254 aktiv_icon

15:01 Uhr, 28.05.2023

Also ihr sagt das kann man ohne Formel ausrechnen? Aber wie?

Roman-22

17:42 Uhr, 28.05.2023

Was ich gemeint habe war, dass du, falls du kein CAS nutzen kannst, besser beraten bist, das Gleichungssystem mit konkreten Zahlenwerten numerisch zu lösen und nicht erst allgemein mit Variablen für die Mittelpunktskoordinaten und Radien.
Ist auch nicht all zu freundlich, aber sicher einfacher, als mit Ausdrücken hantieren zu müssen, wie ich dir vorhin einen (das war nur die x-Koordinate eines der beiden Schnittpunkte) gepostet hatte.

Ob es nun direkt (also eine Gleichung nach zB

y

auflösen, in die zweite einsetzen und die entstehende Wurzelgleichung lösen, immer unter Beachtung beider möglicher Vorzeichen bei den Wurzeln) oder mit Koordinatentransformation und Rücktransformation einfacher ist, müsste man konkret ausprobieren.

calc007

18:05 Uhr, 28.05.2023

"Also ihr sagt das kann man ohne Formel ausrechnen?"
Das hat keiner behauptet.

"Aber wie?"
Wie oben beschrieben. Da steht doch eine Formel. Und die ist wahrlich nicht sehr komplex.

Selbst eine Koordinaten-Transformation wäre eine simple lineare Gleichung.

Du müsstest halt endlich zu verstehen geben, ob dir das hinreichend ist, ob du das Programmieren willst, ob du das nur einmal brauchst, oder ob du das tausendfach Programm-automatisiert brauchst, was dir sympatisch ist, was dir unsympatisch ist, was du verstanden hast, was du nicht verstanden hast....

GeheimAgent001254 aktiv_icon

01:03 Uhr, 29.05.2023

Ich habe verstanden wie man das Problem lösen kann.
Ich wollte nur noch klären ob es da noch Sachen gibt die ich nicht verstanden habe.

@Roman-22 Also gut mit Computer lösen, war gemeint. Mit den Wurzeln wäre ich da wahrscheinlich sowieso nicht von Hand durchgekommen.

@calc007 Deine Formel finde ich gut

Danke

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