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Satz von Arzel`a-Ascoli. Zeigen oder widerlegen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Beschränkt, Funktionenfolgen, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen, Stammfunktion

S-amalgh

15:41 Uhr, 07.12.2020

Satz von Arzel

a - A s c o l i .

Zeigen oder widerlegen Sie, ob die angegebenen Funktionenfolgen

(f_{n}

)n∈N mit Definitionsbereich

[0, 1]

jeweils gleichgradig stetig und/oder gleichmäßig beschränkt sind. Für welche dieser Funktionenfolgen ist der Satz von Arzel

a - A s c o l i a n w e n d \bar{?}

a) f_{n} (x) = sin (n x)

b) f_{n} (x) = \frac{1}{n} sin (n x)

c) f_{n} (x) = n + 3 x

Hinweise:
• Zur Bestimmung von Stammfunktionen kann eine Formelsammlung eingesetzt werden.
• Die Korrektheit eines Potentials kann leicht durch Differenzieren überprüft werden.

Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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15:55 Uhr, 07.12.2020

gleichgradig stetig und/oder gleichmäßig beschränkt sind. Für welche dieser Funktionenfolgen ist der Satz von Arzela−Ascolianwend?¯

"a)fn(x)=sin(nx)"

∣ f_{n} (x) ∣ \leq 1

für alle

n

und

x

=> gleichmäßig beschränkt.
Aber nicht gleichgradig stetig, denn für

x = 0, y = π / 2 n

haben

∣ x - y ∣ \to 0

, aber

∣ f_{n} (x) - f_{n} (y) ∣ = ∣ \sin (0) - \sin (π / 2) ∣ = 1

.

"b)fn(x)=1nsin(nx)"

Es gilt

∣ f_{n} (x) ∣ \leq 1 / n

für alle

x

. Das garantiert gleichmäßige Beschränktheit.
Außerdem

∣ f_{n} (x) - f_{n} (y) ∣ = \frac{∣ \sin (n x) - \sin (n y) ∣}{n} = \frac{n ∣ \cos (n ξ) ∣ \cdot ∣ x - y ∣}{n}

nach dem Mittelwertsatz (

ξ

zwischen

a

und

b

).
Also

∣ f_{n} (x) - f_{n} (y) ∣ = ∣ \cos (n ξ) ∣ \cdot ∣ x - y ∣ \leq ∣ x - y ∣

. Daraus folgt direkt die gleichgradige Stetigkeit.

"c)fn(x)=n+3x"

Nicht gleichmäßig beschränkt, weil keine einzelne

f_{n}

beschränkt ist.
Aber gleichgradig stetig, denn

∣ f_{n} (x) - f_{n} (y) ∣ = 3 ∣ x - y ∣

hängt nicht von

n

ab.

S-amalgh

17:24 Uhr, 07.12.2020

Danke dir! ;-)

S-amalgh

22:26 Uhr, 01.02.2021

Könntest du mir bitte mehr erklären , wann die Funktionenfolgen gleichgradig stetig und/oder gleichmäßig beschränkt sind, weil ich das nicht so gut verstehe.
Vielen vielen Dank im Voraus! :-))

DrBoogie aktiv_icon

08:38 Uhr, 02.02.2021

Gleichgradig stetig bedeutet, dass sie sozusagen simultan stetig sind. Ich weiß nicht, wie man das einfacher erklären kann.
Gleichmäßig beschränkt bedeutet, dass alle durch eine gemeinsame Schranke beschränkt sind.

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