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Satz von Stokes

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Integral, Oberflächenintegral, Paraboloid, stokes

lifescience aktiv_icon

18:57 Uhr, 09.01.2017

Hallo zusammen,
gegeben ist eine Fläche

S = {(x, y, z) e R^{3} : z = \frac{1}{8} \cdot (x^{2} + y^{2}), z e [0,2]}

als Mantelfläche eines Paraboloids. Der Einheitsvektor

N

zeigt in das innere des Paraboloids. Der Umlaufsinn wird so gewählt, dass er mit

N

eine Rechtsschraube bildet. Außerdem ist gegeben:

V : R^{3} - \to R^{3} V (x, y, z) = \frac{1}{2} (- y^{2},

xy, xyz).
Berechnen Sie das Oberflächenintegral

\int S

rot(V)*

N

do.

Leider habe ich hierzu keine Ahnung. Ich hab schon ein wenig in Büchern recherchiert und mir sind allgemeine Formeln zu Stokes bekannt. Es wäre super, wenn mir jemand erklären könnte wie ich hier vorgehen muss.
Danke für die Mühen.
Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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ledum aktiv_icon

13:11 Uhr, 11.01.2017

Hallo
1. rot(V) bestimmen,
2.

N

bestimmen
3. integrieren
oder Integralsatz von Gauss, rot(V) ist hier dein Vertorfend, also div(rot(V) dV im volumenintegral
Gruß ledum

lifescience aktiv_icon

13:27 Uhr, 11.01.2017

ich komme trotzdem nicht weiter.. wie bestimme ich N?

DerDepp aktiv_icon

19:40 Uhr, 11.01.2017

Hossa :-)

Aus der Definition der Mantelfläche

S

folgt der Ortsvektor

\vec{r}

, der die Mantelfläche in Abhängigkeit von

x

und

y

abtastet:

\vec{r} (x, y) = (\begin{array}{c} x \\ y \\ \frac{1}{8} (x^{2} + y^{2}) \end{array})

Infinitesimale Änderungen

d x

bzw.

d y

führen zu infinitesimalen Änderungen des Ortsvektors:

d \vec{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} d x + \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} d y

\vec{r} (x + d x, y + d y)

ebenso wie

\vec{r} (x, y)

ein Punkt auf der Fläche ist, liegt der Differenzvektor

d \vec{r}

tangential zur Fläche an der Stelle

\vec{r} (x, y)

. Das lokale Flächenelement d

\vec{f}

, aufgespannt durch die zwischen

x, x + d x

und

y, y + d y

liegenden Punkte, ist daher:

d \vec{f} = (\frac{\partial \vec{r}}{\partial x} d x) \times (\frac{\partial \vec{r}}{\partial y} d y) = (\frac{\partial \vec{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y}) d x d y

Dieser Vektor normiert ist dein Einheitsvektor

\vec{n}

. Du musst nur noch bei der Orientierung aufpassen. Da das Vektorprodukt anti-kommutativ ist,

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

, hängt das Vorzeichen davon ab, in welcher Reihenfolge du die Differentiale kreuzt. Mit anderen Worten, mit dem Kreuzprodukt der Differentiale kriegst du immer den Vektor

d \vec{f}

, der das Flächenelement beschreibt, aber das Vorzeichen ist nicht eindeutig. Laut Aufgabenstellung soll das Vorzeichen so gewählt werden, dass der Vektor ins Innere der Mantelfläche zeigt...

lifescience aktiv_icon

10:54 Uhr, 12.01.2017

Und wie bestimme ich rot(v) ?
Danke erstmal an alle Antworten!

DerSchorsch aktiv_icon

13:35 Uhr, 12.01.2017

rot(V)= $\nabla\cdot \overset{⇀}{v}$ =( $\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{d}{d x} \\ \frac{d}{d y} \end{matrix} \\ \frac{d}{d z} \end{matrix}$ )x( $\begin{matrix} \begin{matrix} V 1 \\ V 2 \end{matrix} \\ V 3 \end{matrix}$ ) = ( $\begin{matrix} \begin{matrix} 0, 5 x z - 0 \\ 0 - 0, 5 y z \end{matrix} \\ 0, 5 y - y \end{matrix}$ ) <br id="elCustomTag3" />

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