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Schnittpukte der Funktionenscharen

Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe

Tags: Schar, Schnittpunkt

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20:31 Uhr, 24.12.2012

Guten Abend,

allen erstmal frohe Weihnachten. :-)

Also die erste Aufgabe lautet:

ft(x)=

e^{x} - t

Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen der Schar mit der

x -

Achse und den Schnittpunkt mit der

y -

Achse. Warum muss

t

eingeschränkt sein?

t

ist der Parameter hier..

Ich habe am Anfang für

t

drei verschiedene Zahlen eingesetzt und von díesen Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnet..

f (x) = e^{x} - 1

f (x) = e^{x} - 2

f (x) = e^{x} - 3

Aber ich habe das ganze auch ohne Zahlen gemacht, weil ich mir nicht sicher war welches nun richtig ist..

e^{x} - t = 0 | + t

e^{x} | ln

x = ln (t)

y = e^{0} - t

= 1 - t

Und zu der Frage warum

t

eingeschränkt ist:
Wenn

t

nicht eingeschränkt wäre, könnte der Parameter auch negative Zahlen annehmen. Bei dem Beispiel (siehe unten) hat man gesehen, dass es für negative Werte des Parameters kein Schnittpunkt mit der

x -

Achse vorhanden ist.

Bsp.:

t = - 1

f (x) = e^{x} 1

Schnittpunkt mit der

y -

Achse:

f (x) = e^{0} + 1

= 2

S (0 | 2)

Schnittpunkt mit der

x -

Achse:

0 = e^{x} + 1 | - 1

- 1 = e^{x} | ln

keine Lösung!

Ist das denn soweit richtig? Ich bin mir noch ziemlich unsicher..

Zu der zweiten Aufgabe habe ich bisher noch nichts rechnen können:
Funktionenschar fa(x)= e^2x-a²e^x
Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen der Schar mit der

x -

Achse und den Schnittpunkt mit der

y -

Achse. Kann

a E ℝ

sein?(E= dieses zeichen für Element, ich kann das hier nicht machen).

Muss ich vorher ausklammern? Aber wie??

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

21:06 Uhr, 24.12.2012

deine Lösung ist richtig, nur hast du den Schnittpunkt mit der x-Achse nicht angebenen
bei Funktionenscharen wird immer allgemein mit dem Parameter

t

gerechnet, falls es in der Aufgabe nicht anders vorgegeben ist

Schnittpunkt mit der x-Achse:

N (ln (t) | 0), t > 0

nur für

t > 0

gibts einen Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit y-Achse:

S_{y} (0 | 1 - t)

ist

f_{a} (x) = e^{2 x} - a^{2} \cdot e^{x}

die zweite Funktionenschar?

Schnittpunkt mit x-Achse:

f_{a} (x) = 0

die Idee auszuklammern war richtig, dann kann der Satz vom Nullprodukt verwendet werden, gemeinsamer Faktor ist

e^{x},

dieser wird ausgeklammert:

e^{x} (e^{x} - a^{2}) = 0

e^{x} = 0

oder

e^{x} = a^{2}

e^{x}

wird nie null

x = ln (a^{2})

a darf hier auch negativ sein aber nicht null, also

a \in ℝ

{

0}
Hinweis:

a \in ℝ

schreibt man so: "a in RR"

N (ln (a^{2}) | 0), a \neq 0

Schnittpunkt mit y-Achse

f_{a} (0) = 1 - a^{2}

S_{y} (0 | 1 - a^{2})

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21:10 Uhr, 24.12.2012

So dankeschön, das habe ich dann auch ergänzt.. Und wie gehe ich an die andere Aufgabe dran?

michael777 aktiv_icon

21:14 Uhr, 24.12.2012

die zweite Aufgabe habe ich gerade oben ergänzt

bitte mal

f_{a} (x)

prüfen, ich hoffe ich habe sie aus deiner Schreibweise richtig interpretiert

lonely aktiv_icon

22:46 Uhr, 24.12.2012

Sa, Sie haben das richtig interpretiert. Tut mir leid, ich kenn mich mit der Schreibweise nicht aus..

: (

Vielen, vielen Dank für die schnelle hilfe...

Ich habe noch eine andere Aufgabe, wo ich nicht weiter komme.. Ich weiß langsam werden es viele Aufgaben

\frac{:}{}

ft(x)= tx³-tx

; (t > 0)

a)

Untersuchen Sie die Graphen von ft auf Extrempunkte.

Ich habe die Funktion zweimal abgeleitet.

f' t (x) =

3tx²-t

f'' t (x) =

6tx

dann:

f' t (x) = 0

3tx²-t

= 0 \to | + t

3tx²

= t \to

|durch 3
tx²

= \frac{t}{3}

so jetzt komme ich nicht weiter..

pleindespoir aktiv_icon

22:59 Uhr, 24.12.2012

f_{t} (x) = t x ³ - t x

f_{t} (x) = t \cdot (x ³ - x)

t ist für die Ableitungen als konstanter Faktor zu betrachten, also:

f ʹ_{t} (x) = t \cdot (3 x^{2} - 1)

f ʺ_{t} (x) = t \cdot (6 x - 0)

---

f ʹ_{t} (x) = 0

0 = t \cdot (3 x^{2} - 1)

0 = 3 x^{2} - 1

1 = 3 x^{2}

x^{2} = ⅓

x_{1, 2} = \pm \sqrt{⅓}

lonely aktiv_icon

01:28 Uhr, 25.12.2012

Und um zu gucken, ob es ein Hoch- bzw ein Tiefpunkt ist muss man die Nullstellen doch in die 2. Ableitung einsetzen.
Dann bekomme ich das raus:
f"t(x)=

t (6 \cdot

√1/3)

= 3,464 t \to

Tiefpunkt

bei dem anderen kommt ca.

- 3,464 \to

Hochpunkt..

Stimmt das denn soweit?

pleindespoir aktiv_icon

01:52 Uhr, 25.12.2012

Ganz oben wurde festgestellt, dass t positiv sein muss - also brauch man nur zu gucken, ob die Extremstelle eingesetzt in die 2.Abl. positiv ist - dann ist es ein Minimum und sinngemäss umgekehrt.

Sollten jedoch auch negative t erlaubt sein, dann ist es wieder umgekehrt.

lonely aktiv_icon

02:12 Uhr, 25.12.2012

Ist es denn richtig, wie ich das gemacht habe?

michael777 aktiv_icon

08:23 Uhr, 25.12.2012

t > 0

f_{t}'' (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6 t \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} > 0 = \Rightarrow

(\frac{1}{\sqrt{3}} | f_{t} (\frac{1}{\sqrt{3}}))

f_{t}'' (- \frac{1}{\sqrt{3}}) = - 6 t \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} < 0 = \Rightarrow

(- \frac{1}{\sqrt{3}} | f_{t} (- \frac{1}{\sqrt{3}}))

lonely aktiv_icon

15:11 Uhr, 25.12.2012

Ahh dankeschön. Ich muss mich nich daran gewöhnen, dass allgemeiner auszuschreiben. Bis jetzt hatten wir solche Aufgaben nicht und haben fast immer mit Zahlen gerechnet..

Vielen Dank.

Da habe ich noch eine Aufgabe, wo ich nicht weiterkomme..

Untersuchen Sie die Graphen von ft(x)=

(t - x) \cdot e^{x}

auf Punkte mit waagerechter Tangente.

Hier habe ich versucht das abzuleiten.

f' t (x) = (t - x) \cdot e^{x} + (t - x) \cdot e^{x}

kann man das noch irgendwie zsm fassen, doer geht das nicht mehr..

pleindespoir aktiv_icon

18:45 Uhr, 25.12.2012

f_{t} (x) = (t - x) \cdot e^{x}

Produktregel der Ableitung:

u = t - x

u ʹ = - 1

v = e^{x}

v ʹ = e^{x}

f ʹ_{t} (x) = (- 1) \cdot e^{x} + (t - x) \cdot e^{x}

lonely aktiv_icon

19:01 Uhr, 25.12.2012

Okay, das habe ich dann. Ich habe dass dann zusammengefasst.
ft(x)=

(t - x) \cdot e^{x} - e^{x}

Wie stellt man den Parameter

t

nach unten..

michael777 aktiv_icon

19:03 Uhr, 25.12.2012

e^{x}

ausklammern
dann nullsetzen, da ja Punkte mit waagrechter Tangente gesucht sind, bei denen ist die erste Ableitung null
nach

x

auflösen (nicht nach

t)

die Lösung

x

ist vom Parameter

t

abhängig

lonely aktiv_icon

19:09 Uhr, 25.12.2012

Aber

e^{x}

ist doch ausgeklammert bei der Endfunktion, wie ich das schon zsm gefasst habe..

Aber wie meinen Sie das..

Atlantik aktiv_icon

19:13 Uhr, 25.12.2012

"Wie stellt man den Parameter

t

nach unten.."

Wenn du das haben willst:

f_{t} (x)

mache es so: "f_t(x)" aber dann ohne die Anführungszeichen.

mfG

Atlantik

lonely aktiv_icon

19:14 Uhr, 25.12.2012

@Atlantik: Ja, das meinte ich. Danke..

michael777 aktiv_icon

19:17 Uhr, 25.12.2012

e^{x}

kommt zweimal als Faktor vor, kann also ausgeklammert werden

f_{t}' (x) = e^{x} \cdot (...)

lonely aktiv_icon

19:20 Uhr, 25.12.2012

So:

{f'}_{t} (x) = e^{x} (t - x - 1)

michael777 aktiv_icon

19:24 Uhr, 25.12.2012

richtig
dann nullsetzen und nach

x

auflösen

lonely aktiv_icon

19:31 Uhr, 25.12.2012

Dann habe ich folgendes:

{f'}_{t} (x) = 0

e^{x} \cdot (t - x - 1) = 0

e^{x} \neq 0

t - x - 1 = 0 | + 1

t - x = 1 | - t

- x = 1 - t | \cdot (- 1)

x = - 1 + t

michael777 aktiv_icon

19:32 Uhr, 25.12.2012

richtig

x = t - 1

ist die x-Koordinate der Punkte mit waagrechter Tangente
fehlt noch der y-Wert

lonely aktiv_icon

19:38 Uhr, 25.12.2012

Für den

y -

Wert habe ich folgendes raus:

f_{t} (x) = (t - (- 1 + t)) \cdot e^{- 1 + t}

= (t + 1 - t) \cdot e^{- 1 + t}

= 1 \cdot e^{- 1 + t}

= e^{- 1 + t}

Stimmt das??

michael777 aktiv_icon

19:40 Uhr, 25.12.2012

stimmt

als Antwort noch den Extrempunkt angeben

lonely aktiv_icon

19:43 Uhr, 25.12.2012

Exrtrempunkt angeben? Es ist doch nach der waagerechten Tangente gefragt?

michael777 aktiv_icon

19:44 Uhr, 25.12.2012

Punkte mit waagrechter Tangente sind fast immer Extrempunkte (Ausnahme: Sattelpunkt = Wendepunkt mit waagrechter Tangente)

bei dieser Aufgabe:
zweite Ableitung

f_{t}'' (x) = e^{x} \cdot (t - x - 2)

f_{t}'' (t - 1) \neq 0,

somit also kein Wendepunkt mit waagrechter Tangente

lonely aktiv_icon

20:00 Uhr, 25.12.2012

dafür muss ich ja noch die 2. Abeltung bilden. Da habe ich:

u = t - x - 1

u' = - 1

v = e^{x}

v' = e^{x}

(- 1) \cdot e^{x} + (t - x - 1) \cdot e^{x}

- e^{x} + (t - x - 1) \cdot e^{x}

- e^{x} + (t - x - 1) \cdot e^{x} - e^{x}

(t - x) \cdot e^{x} + 2 e^{x}

Dann habe ich den

x -

Wert eingesetzt.

(t - (- 1 + t)) \cdot e^{- 1 + t} - 2 e^{- 1 + t}

(t + 1 - t) \cdot e^{- 1 + t} - 2 e^{- 1 + t}

1 e^{- 1 + t} - 2 e^{- 1 + t}

e^{- 1 + t} - 2 e^{- 1 + t}

- e^{- 1 + t}

michael777 aktiv_icon

20:13 Uhr, 25.12.2012

bei der zweiten Ableitung hast du beim Zusammenfassen einen Fehler gemacht
sie lautet

f_{t}'' (x) = e^{x} \cdot (t - x - 2)

x = t - 1

eingesetzt:

f_{t}'' (t - 1) = - e^{t - 1}

das war bei dir richtig

bei dieser Aufgabe war sie aber nicht notwendig
gefragt waren nur Punkte mit waagrechter Tangente
als Lösung einfach

P (t - 1 | e^{t - 1})

angeben
ob das nun Extrempunkte oder Sattelpunkte sind, ist bei dieser Aufgabe egal

lonely aktiv_icon

20:26 Uhr, 25.12.2012

Ahh okay.. Das meinte ich, ich ahbe mich nur selber bisschen verwirrt.. Vielen Dank.. :-)

lonely aktiv_icon

20:33 Uhr, 25.12.2012

Ich habe noch eine andere Funktion, da bin ich mir nicht sicher, ib ich die Ableitung ricchtig habe.

Untersuchen Sie die Graphen von

f_{t} (x) =

t²e^x-t²x

{f'}_{t} (x) =

t²e^x-t²

f''_{t} (x) =

t²e^x

Stimmt das so??

michael777 aktiv_icon

21:17 Uhr, 25.12.2012

Ableitungen sind richtig

schreibe zwischen

t^{2}

und

e^{x}

ein Leerzeichen oder ein Malzeichen

\cdot,

dann wird die Funktion leserlicher dargestellt

lonely aktiv_icon

21:35 Uhr, 25.12.2012

okay mache ich demnächst..

Dann ahbe ich Folgendes:

{f'}_{t} (x) = 0

t²*e^x-t²

= 0

|+t²
t²*e^x = t² |/t²

e^{x} = 1 | ln

x = 0

f (0) =

t²*e^0-t²*0
= t²*1
= t²

T

(0|t²)

Müsste meines Erachtens auch stimmen.

michael777 aktiv_icon

21:47 Uhr, 25.12.2012

ist richtig

es fehlt aber die Begründung, warum es ein Tiefpunkt ist
wahrscheinlich hast du

x = 0

in die zweite Ableitung eingesestzt, aber es hier nur nicht geschrieben

also

f_{t}'' (0) = t^{2} > 0

lonely aktiv_icon

21:57 Uhr, 25.12.2012

Yap das hatte ich auch so ;-)
Dann war noch eine Frage zu der Aufgabe: Was kann man über die Lage der Punkte im Koordinatensystem sagen?

Da habe ich geschrieben, dass alle Extrempunkte der Graphen von f_t(x)=t²e^x- t²x
haben alle den gleichen

x -

Wert, nämlich 0.

michael777 aktiv_icon

21:58 Uhr, 25.12.2012

da alle Punkte

x = 0

haben, liegen sie auf der y-Achse, sie ist die Ortskurve der Tiefpunkte

lonely aktiv_icon

22:02 Uhr, 25.12.2012

Ja, okay. Vielen Vielen Dank :-)

Ich habe noch eine Frage zu der Funktion

f_{t} (x) =

x² *e^tx

Wie mache ich die Ableitung davon?

michael777 aktiv_icon

22:03 Uhr, 25.12.2012

Produkt- und Kettenregel

lonely aktiv_icon

22:06 Uhr, 25.12.2012

ahh okay...

Dann habe ich folgendes raus:

u =

x²

u' = 2 x

v =

e^(tx)

v' =

e^(tx)

das was ich gerade geschrieben habe, stimmt nicht.. die kettenregel ahbe ich missachtet.. sorry

aber warum erscheinen die exponenten bei mir jetzt so komisch??

michael777 aktiv_icon

22:09 Uhr, 25.12.2012

du hast bei

e^{t x}

die Ableitung der inneren Funktion tx vergessen

e^{t x}

abgeleitet ist

t \cdot e^{t x}

die Ableitung von

f_{t} (x)

ist dann

f_{t}' (x) = 2 x e^{t x} + x^{2} e^{t x} \cdot t = x \cdot e^{t x} \cdot (2 + t x)

ich habe gleich noch ausgeklammert, weil man damit die Extremstellen besser berechnen kann

"aber warum erscheinen die exponenten bei mir jetzt so komisch?"
schreibe mal mit Leerzeichen zwischen

t

und

x :

"e^(t x)" das wird dann so angezeigt:

e^{t x}

lonely aktiv_icon

22:17 Uhr, 25.12.2012

Die Aufgabe erfordert wieder die waagerechte Tangente..

Untersuchen Sie die Graphen von

f_{t} (x) =

x²*e^(tx) auf Punkte mit waagerechter Tangente.
Für welche Werte

t \in ℝ

gibt es genau eine Lösung?

michael777 aktiv_icon

22:28 Uhr, 25.12.2012

f_{t}' (x) = 0

x \cdot e^{t x} \cdot (2 + t x) = 0

x = 0

oder

x = - \frac{2}{t}

für

t = 0

gibts nur die eine Lösung

x = 0,

für alle anderen

t \in ℝ

{

0} gibts zwei Lösungen

t = 0 :

f_{0}' (x) = 0

x \cdot 1 \cdot (2 + 0) = 0

2 x = 0

x = 0

lonely aktiv_icon

22:33 Uhr, 25.12.2012

Aber um den

y -

Wert zu berechnen, ahbe ich folgendes gemacht:

f (- \frac{2}{t}) = {(- \frac{2}{t})}^{2} \cdot e^{t \cdot (- \frac{2}{t})}

Stimmt das so:

\frac{4}{t^{2}} \cdot e^{- 2}

wie kann ich das noch weiter zsm fassen??

Aber wie kommen Sie auf

t = 0

michael777 aktiv_icon

22:36 Uhr, 25.12.2012

weiter zusammenfassen geht nicht, du könntest nur noch

e^{- 2}

als

e^{2}

im Nenner schreiben:

f_{t} (- \frac{2}{t}) = {(- \frac{2}{t})}^{2} e^{t \cdot - \frac{2}{t}} = \frac{4}{t^{2}} e^{- 2} = \frac{4}{t^{2} e^{2}}

auf

t = 0

komme ich, weil ja gefragt wurde, für welche

t

es nur einen Punkt mit einer waagrechten Tangente gibt
füt

t = 0

gibts nur im Punkt

(0 | 0)

eine waagrechte Tangente
die zweite Lösung

- \frac{2}{0}

wäre ja eh nicht definiert (wegen der 0 im Nenner)

lonely aktiv_icon

22:55 Uhr, 25.12.2012

t = 0 :

f 0' (x) = 0

x

⋅ 1 ⋅

(2 + 0) = 0

2 x = 0

x = 0

setzen Sie hier für

x

auch 0 ein??

michael777 aktiv_icon

22:58 Uhr, 25.12.2012

nein
nur für

t

wird null eingesetzt
gesucht sind ja Punkte mit waagrechter Tangente
die erste Ableitung

f_{0}' (x)

muss also 0 sein, das ist für

x = 0

der Fall

lonely aktiv_icon

23:02 Uhr, 25.12.2012

Aber hat man dann nicht folgendes raus:

x \cdot e^{0 \cdot x} \cdot (2 + 0 x)

= x \cdot 1 x \cdot 2

michael777 aktiv_icon

07:59 Uhr, 26.12.2012

die erste Zeile stimmt noch
aber in der zweiten ist das zweite

x

zuviel

e^{0 \cdot x} = e^{0} = 1

(bei dir wurde da

1 x

draus)

lonely aktiv_icon

14:01 Uhr, 26.12.2012

Okay, dann ahbe ich wahrscheinlich einfach nur einen Denkfehler drin..
Aber hast du

t = 0

einfach durch probieren rausbekommen??

michael777 aktiv_icon

15:47 Uhr, 26.12.2012

nicht durch probieren

für

t = 0

gibt es keine Lösung, weil bei der zweiten Lösung

t

im Nenner steht und man nicht durch 0 dividieren darf

lonely aktiv_icon

15:53 Uhr, 26.12.2012

Muss man, wenn nach den waagerechten tangente gefragt ist für

t = 0

einsetzen??

michael777 aktiv_icon

15:57 Uhr, 26.12.2012

nein

waagrechte Tangenten erhält man an den Stellen, an denen die Ableitung der Funktion 0 ist
das ist bei der Aufgabe für zwei verschiedene x-Werte der Fall

nur um die Frage zu beantworten, für welchen Wert von

t

es nur eine Stelle mit waagrechter Tangente gibt, muß man schauen, für welches

t

die beiden x-Werte gleich sind (hier nicht der Fall) oder für welches

t

es eine der beiden Lösungen nicht gibt (hier bei

t = 0)

lonely aktiv_icon

16:08 Uhr, 26.12.2012

Vielen lieben Dank an alle, die mir geholfen haben... :-)

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