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Schnittpunkte zweier geraden im Vektor

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Schnittpunkt, Vektorgeometrie

anonymous

15:37 Uhr, 27.12.2016

Moin, ich bräuchte dann mal wieder eure Hilfe.
Durch die Punkte

A 1 (\begin{matrix} - 1 \\ - 7 \\ - 2 \end{matrix})

und

B 1 (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

sowie

A 2 (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

und

B 2 (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

verläuft je eine gerade.

In welchem Punkt schneiden sie sich?

In welchem Winkel schneiden sie sich?

Kann mir jemand erklären wie ich die Schnittpunkte errechne ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

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16:08 Uhr, 27.12.2016

Das kann man z.B. so machen: eine Gerade durch Punkte

A

und

B

besteht aus Punkten

A + t \cdot \vec{B A}

für alle

t \in ℝ

. Damit besteht Deine 1. Gerade aus den Punkten

(- 1, - 7, - 2) + t (4, 6, 2)

.
Du hast zwei Geraden, eine besteht wie gesagt aus Punkten

(- 1, - 7, - 2) + t (4, 6, 2)

, die andere aus

A_{2} + s \cdot \vec{B_{2} A_{2}}

. Ein Schnittpunkt erfüllt das LGS

(- 1, - 7, - 2) + t (4, 6, 2) = A_{2} + s \cdot \vec{B_{2} A_{2}}

(anstelle von

A_{2}

und

\vec{B_{2} A_{2}}

musst Du konkrete Vektoren schreiben). Das ist ein LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten, es muss nicht unbedingt eine Lösung haben, aber in diesem Fall hat es wohl eine.
Und der Winkel ist einfach der Winkel zwischen

\vec{B_{1} A_{1}}

und

\vec{B_{2} A_{2}}

, dafür gibt's einfach eine Formel:
http//www.mathebibel.de/winkel-zwischen-zwei-vektoren

anonymous

22:46 Uhr, 27.12.2016

Vielen Dank schonmal hat mir schon etwas geholfen nur wie komme ich auf

t (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{matrix})

Respon

22:50 Uhr, 27.12.2016

"Spitze minus Schaft"

anonymous

23:11 Uhr, 27.12.2016

Danke für die nicht vorhandene erklärung.

Respon

23:14 Uhr, 27.12.2016

"Spitze minus Schaft" sollte dir doch geläufig sein. Oder wo ist dein Problem ?
Und den Rechenablauf hat dir ja schon DrBoogie erklärt.

anonymous

12:18 Uhr, 28.12.2016

Nein es sagt mir nichts sonst würde ich nicht fragen.

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12:54 Uhr, 28.12.2016

Wenn

B = (x, y, z)

und

A = (x_{1}, y_{1}, z_{1})

, dann hat der Vektor

\vec{A B}

die Koordinaten

(x - x_{1}, y - y_{1}, z - z_{1})

.
Siehe auch hier:
http//www.mathebibel.de/vektor-zwischen-zwei-punkten

anonymous

13:06 Uhr, 28.12.2016

Bedeutet dass

A 2 (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ - 4 \\ - 8 \end{matrix})

ist ?

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13:08 Uhr, 28.12.2016

Verstehe die Frage nicht.

anonymous

13:10 Uhr, 28.12.2016

Zitat: (anstelle von

A 2

und B2A2⃗ musst Du konkrete Vektoren schreiben)

Sind das die konkreten Vektoren der zweiten geraden ?

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13:15 Uhr, 28.12.2016

Ja, die 2. Gerade besteht aus Punkten

(7, 4, 5) + s (- 4, - 4, - 8)

anonymous

13:20 Uhr, 28.12.2016

Gut danke um das jetzt weiter zu verfolgen müsste es jetzt also heißen:

(\begin{matrix} - 1 \\ - 7 \\ - 2 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 4 \\ - 4 \\ - 8 \end{matrix})

und dann

- 1 + 4 r = 7 - 4 s

- 7 + 6 r = 4 - 4 s

- 2 + 2 r = 5 - 8 s

richtig soweit ?

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13:26 Uhr, 28.12.2016

Soweit richtig.

anonymous

13:33 Uhr, 28.12.2016

Gut bedeutet aus der ersten Gleichung

- 1 + 4 r = 7 - 4 s

wird

r = 2 - s

richtig?
(ja ich mache jetzt mal das verfahren schritt für schritt um es zu verstehen)

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13:33 Uhr, 28.12.2016

Richtig.

anonymous

13:35 Uhr, 28.12.2016

- 7 + (6 \cdot (2 - s)) = 4 - 4 s

so jetzt bekomme ich Probleme, ich weiß nicht wie ich weiter machen soll.

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13:44 Uhr, 28.12.2016

Ausklammern. Das ist eine einfache lineare Gleichung, der Stoff aus der 7. Klasse.

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13:46 Uhr, 28.12.2016

Die Lösung ist

s = 0.5

anonymous

13:49 Uhr, 28.12.2016

okay peinlich zuzugeben aber nach meiner Ausbildung in der ich nie Ausklammern benötigt habe habe ich vergessen wie es geht

: (

aber danke werde mal wieder meine Grundkenntnisse auffrischen.

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13:51 Uhr, 28.12.2016

Das geht so:

6 \cdot (2 - s) = 6 \cdot 2 - 6 s = 12 - 6 s

Aber Auffrischen ist eine gute Idee. :-)

anonymous

13:52 Uhr, 28.12.2016

Du meintest ausmultiplizieren oder ? Weil da weiß ich wie es geht danke :-D)

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14:05 Uhr, 28.12.2016

Ausmultiplizieren und auch ausklammern, wobei in diesem Fall das einfach ist.
Ich meine so was wie hier:

a + (b - c) = a + b - c

und

a - (b - c) = a - b + c

anonymous

14:36 Uhr, 28.12.2016

Gut jetzt habe ich den Schnittpunkt errechnet

: (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

fehlt nun der Winkel.

Nachtrag: Winkel Ergebnis: 40,37°

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14:49 Uhr, 28.12.2016

Den Link auf die Formel mit Kosinus und Skalarprodukt habe ich oben gepostet.

anonymous

14:50 Uhr, 28.12.2016

Ja danke müsste nach der Methode zu einem Ergebnis von 40,37° kommen.

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15:33 Uhr, 28.12.2016

Das scheint richtig zu sein.

anonymous

15:35 Uhr, 28.12.2016

Vielen Dank für deine Hilfe und besonders für deine Geduld.

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