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Schwerpunkt eines Zylinders mittels Integral

Universität / Fachhochschule

Tags: Dreifachintegral, Integral, Schwerpunkt, Zylinder

Fraenk aktiv_icon

00:59 Uhr, 23.07.2019

Hallo!

Ich hätte gerne eine Frage zu einer Rechnung. Meine Lösung unterscheidet sich von der Musterlösung für den Schwerpunkt

S

und ich finde meinen Fehler nicht..

Es geht um folgendes:
"Die Menge

K \in ℝ^{3}

sei in Zylinderkoordinaten

r, φ, z

beschrieben durch

0 \leq r \leq 1

0 \leq φ \leq 2 π

r \leq z \leq 1

b .)

Bestimmen Sie das Volumen von

K

c .)

Die Dichte

ρ

von

K

sei gegeben durch

ρ (r, φ, z) = 1 - \frac{1}{2} z

. Bestimmen Sie die Masse und den Schwerpunkt von K."

Meine Rechnungen:

b .)

Da habe ich

V_{K} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} \int_{r}^{1} 1 \cdot r \cdot d z d φ d r = \frac{π}{3}

raus. Ist das selbe Ergebnis wie in der Musterlösung.

c .)

Masse im Allgemeinen: Masse = Volumen

\cdot

Dichte. Volumen und Dichte sind von

r, ρ

und

z

abhängig. Also:

m (r, ρ, z) = V (r, ρ, z) \cdot ρ (r, ρ, z) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} \int_{r}^{1} r \cdot (1 - \frac{1}{2} z) d z d φ d r = \frac{5}{24} π

. Auch hier gleiches Ergebnis wie in der Musterlösung.
Schwerpunkt: Hier hapert es bei mir. Da es sich um ein Zylinder handelt und dieser um

x

und

y

symmetrisch ist, ist der Schwerpunkt schon mal bei

S (0,0, S_{z})

.
Aus unserem Skript geht hervor:

S_{z} = \frac{1}{M} \cdot \int \int_{K} \int z \cdot ρ (x, y, z) d x d y d z

mit

M

als Masse. Wenn ich das ausrechne, erhalte ich:

\frac{\frac{5}{12} π}{M} = \frac{\frac{5}{12} π}{\frac{5}{24} π} = 2

. Lösung gibt hier allerdings

0,5

an.

Übersehe ich etwas oder sind die Lösungen vielleicht falsch?

Vielen Dank im Voraus!

Fraenk

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

07:44 Uhr, 23.07.2019

Es handelt sich hier zwar um Zylinderkoordinaten, der Körper selbst ist aber kein Zylinder, sondern ein Kegel der Höhe 1 mit Spitze im Ursprung.
Angesichts der Höhe 1 wäre eine Schwerpunktskoordinate

z_{S} > 1

etwas erstaunlich ;-)
Die Dichte ist unten an der Spitze am größten und nimmt gegen den Basiskreis oben kontinuierlich ab.
Muss es bei der Berechnung der Schwerpunktskoorinate

s_{Z}

nicht wegen der Zylinderkoordinaten

\int \int \int z \cdot ρ (...) \cdot r d z d φ d r

lauten?
Dann wäre das Ergebnis aber

\frac{18}{25} = 0,72

Fraenk aktiv_icon

15:46 Uhr, 23.07.2019

Stimmt, ich bin irrtümlicher weise sofort von einem Zylinder ausgegangen, aber bei genauerer Betrachtung hast du da natürlich Recht. Es war aber auch schon spät :-P)

Und was ich auch nicht bedacht hatte war, dass ich die Formel für kartesische Koordinaten benutzt habe, aber mit Zylinderkoordinaten gerechnet habe. Jetzt komme ich auf dasselbe Ergebnis wie du:

\frac{1}{M} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} \int_{r}^{1} z \cdot ρ (r, φ, z) \cdot r \cdot d z d φ d r = \frac{\frac{3}{20} π}{\frac{5}{24} π} = \frac{18}{25} = 0,72

.

Kann es sein, dass die Lösung falsch ist? Wäre leider nicht das erste mal gewesen..

Und danke für die schnelle Antwort!

Roman-22

16:55 Uhr, 23.07.2019

>

Kann es sein, dass die Lösung falsch ist?
Ja, ich denke, dass

z_{S} = 0,5

falsch ist.
Wäre es ein homogener Kegel, so wäre

z_{S} = 0,75

. Die doch eher moderat variable Dichteverteilung von 1 an der Spitze unten und

0,5

beim Basiskreis oben lässt den Schwerpunkt etwas (aber nicht extrem viel) nach unten rutschen. So sind die

0,72

auch durchaus plausibel.

Fraenk aktiv_icon

18:02 Uhr, 23.07.2019

Ich habe dem Übungsleiter eine Nachricht geschickt mit unserer Rechnung. Sobald ich eine Antwort erhalte, werde ich mich hier nochmal melden. Danke für deine rasche Hilfe!

Grüße
Fraenk

Fraenk aktiv_icon

15:06 Uhr, 24.07.2019

Unsere Lösung ist die Richtige :-)

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