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Seitenhalbierende Dreieck - Verständnisfrage
Schüler
Tags: Schnittpunkt, Seitenhalbierende Dreieck
 
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Hallo! Ich hätte eine Verständnisfrage und wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte. Im Beispiel von meinem Buch war mit Vektoren (und mit Hilfe von linearer Unabhängigkeit) zu beweisen, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt - dem Schwerpunkt - schneiden. Außerdem war das Verhältnis - nämlich zu beweisen. Nun habe ich für zwei Seitenhalbierende ausgerechnet, dass sie sich in einem Punkt schneiden. Das Verhältnis dabei ist . Aber in der Lösung steht, dass damit bereits für ALLE DREI Seitenhalbierende bewiesen ist, dass sie sich im Schwerpunkt schneiden - und im Verhältnis . Meine Frage ist nun, warum kann man das jetzt schon feststellen , ohne ein weiteres Paar von Seitenhalbierenden auszurechnen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Schnittpunkte bestimmen Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme |
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Hallo "Nun habe ich für zwei Seitenhalbierende ausgerechnet, dass sie sich in einem Punkt schneiden." Toll. Wie sollen sich eigentlich zwei Geraden schneiden, außer in einem Punkt? Das gilt doch für alle beliebigen Geraden (es sei denn, sie hätten keinen Schnittpunkt, . sie wären parallel). Dass sich alle Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden wird doch erst interessant und bemerkenswert, indem du gerade beweist, dass durch den Schnittpunkt von zwei Seitenhalbierenden auch die dritte Seitenhalbierende führt. |
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Ich verstehe dich so, dass du allgemein gezeigt hast, das sich zwei beliebige Schwerlinien eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, der beide Schwerlinien im Verhältnis teilt. Daraus folgt in der Tat, dass auch die dritte Schwerlinie durch denselben Schnittpunkt läuft, ohne dass dies noch gesondert nachzurechnen ist. Nimm zB die Schwerlinien durch A und B. Wie schon gezeigt ist, schneiden sie sich einem Punkt der . auch die Schwerlinie durch im Verhältnis teilt. Wo schneiden einander nun die Schwerlinien durch und C. Wie schon gezeigt in einem Punkt, der beide Schwerlinien, vor allem auch wieder die durch im Verhältnis teilt. Das muss also zwangsläufig wieder der Punkt sein, denn in der richtigen Orientierung betrachtet gibt es nur einen Punkt, der die Schwerlinie durch im Verhältnis teilt. Wenn ich hier immer von Schwerlinie schreibe, meine ich damit natürlich nur die Strecke vom Dreieckspunkt bis zum Halbierungspunkt der gegenüberliegenden Seite. |
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Vielen Dank für die rasche und kompetente Antwort. Ich verstehe nun, warum sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt (dem Schwerpunkt) schneiden. Warum weiß man, dass der Schwerpunkt auch die dritte Seitenhalbierende im Verhältnis teilt? |
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Ich bin davon ausgegangen, dass du bereits gezeigt hast, dass in jedem beliebigen Dreieck gilt, dass zwei beliebige Schwerlinien einander in einem Punkt schneiden, der beide Schwerlinien im Verhältnis schneidet. Das gilt dann wegen der Allgemeinheit natürlich auch für die dritte. Ich nahm also an, dass keine Rechnung mit konkreten Zahlenwerten, sondern eine mit allgemeinen Koordinaten durchgeführt wurde. |
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Hier ist noch ein Beweis: www.youtube.com/watch?v=rI8RVRo_ofo mfG Atlantik |
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Vielen Dank für die Antwort. Ja, ich habe die Verhältnisse allgemein mit Vektoren berechnet. Meine Frage ist nun beantwortet, nämlich dadurch, dass wegen der Allgemeinheit das Verhältnis auch für die dritte Seitenhalbierende gilt. |
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