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Sichel

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 13. Klassenstufe

Tags: Integral, Kreisabschnitt, Kreissegment, Sichel

woisthier aktiv_icon

01:44 Uhr, 06.01.2010

Hallo,

Ich habe ein kleines Problem bei einer vermutlich relativ einfachen Aufgabe. Bin leider nicht so der Mathe Crack...von Interalrechnung ganz zu schweigen. Es geht darum, dass sich zwei Kreise mit identischem Radius

(r)

auf einer gemeinsamen Achse

(x)

befinden. Deren Mittelpunkte

M 1

und

M 2

haben den Abstand

s

zueinander. Der entstehende markierte Flächeninhalt A ist relevant. Zeichnung in der Anlage. Mein Problem ist einen elegante Formel zu entwickeln bei der man mit den gegebenen Werten A und

r

die Strecke

s

zwischen den beiden Mittelpunkten

M 1

und

M 2

erhält. Über die Winkelfunktionen habe ich bereits folgende Formel ermittelt und geprüft aber die Umstellung nach

s

lässt sicherlich eine „un“elegante Formel entstehen.

A = (r^{2} \cdot (π +

sin(2*arccos(s/(2*r))) - 2*acos(s/(2*r))))

Meine Frage ist nun ob es über Integralrechnung einen eleganteren Weg gibt, bzw. wie kann ich die Formal nach

s

auflösen? Im wesentlichen muss ich bei bekannten A und

r

direkt auf die Strecke

s

schließen können.

Vielen Dank im Voraus.

Markus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kreisteile: Berechnungen am Kreis

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Leuchtturm aktiv_icon

09:17 Uhr, 06.01.2010

Arbeite einfach mit Halbkreisen!

1.Halbkreis mit Mittelpunkt

(0 | 0)

y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

2.Halbkreis mit Mittelpunkt

(0 | S)

y = \sqrt{r^{2} - x^{2}} - s

Und jetzt halt nen bisgen Integralrechnung...

DK2ZA aktiv_icon

12:11 Uhr, 06.01.2010

Anstelle von

sin (2 \cdot {cos}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot r}))

kannst du schreiben

\frac{s}{r^{2}} \cdot \sqrt{(r^{2} - \frac{s^{2}}{4})}

.

Ich fürchte aber, die Gleichung

A = r^{2} \cdot (π + \frac{s}{r^{2}} \cdot \sqrt{(r^{2} - \frac{s^{2}}{4})} - 2 \cdot {cos}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot r}))

lässt sich auch nicht nach

s

auflösen.

GRUSS, DK2ZA

woisthier aktiv_icon

15:38 Uhr, 06.01.2010

Hallo Leuchtturm,

danke für die schnelle Antwort. Für den Flächenihalt des 1 Halbkreises ohner Versatz

s

habe ich

A = 2 \cdot (\int (r^{2} \cdot {cos (u)}^{2}, u,0, \frac{π}{2}))

Ich steh aber etwas auf dem Schlauch wie ich den Versatz

s

in den Flächeninhalt einbringen soll.

Desweiteren sehe ich noch das Problem ( Welches sicherlich bei sehr kleinem

s

vernachlässigt werden kann), das oben und unten, wie in der Zeichnung zu sehen, die "Zipfel" vom Kreis nicht mit zum Flächeninhalt mitgerechnet werden, da es sich ja nicht mehr um einen Halbkreis handelt.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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