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Skalarprodukt mit einem Integral

Universität / Fachhochschule

Tags: Integral, Skalarprodukt

nudeln2 aktiv_icon

09:31 Uhr, 27.07.2017

Hallo, ich schaue mir gerade ein Vorlesungsvideo an. Dort macht der Prof folgendes:

V (P) = \int_{P}^{P_{0}} \vec{F_{0}} \cdot d \vec{r}

Hier sieht man ein dot-Produkt vom Vektor

\vec{F_{0}}

und der Ableitung des Vektors

\vec{r}

(Ableitung nach dem Ort, da das hier ein Wegintegral ist,

P

und

P_{0}

sind also 2 verschiedene Orte), wobei

\vec{F_{0}}

eine Konstante ist. Die zieht der Prof vor das Integral. Als nächstes schreibt er an:

= \vec{F_{0}} ⋆ (\vec{r_{0}} - \vec{r})

Hier ist das Integral also schon aufgelöst.

Jetzt würde ich gerne den vom Prof ausgelassenen Zwischenschritt anschreiben:

= \vec{F_{0}} \cdot \int_{P}^{P_{0}} d \vec{r}

Das ist also ein Dot-Produkt von einem Vektor mit einem Integral.

Ganz offensichtlich ist das für dem Prof etwas ganz normales, was man noch nicht einmal anschreiben muss. Ich habe aber so etwas noch nie gesehen. So eine Umformung ist echt erlaubt in der Mathematik????

Falls es wen interessiert. Das erwähnte Vorlesungsvideo ist www.youtube.com/watch?v=R-WZyBzFfy8 Die Formel wird ab

38 : 49

angeschrieben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

nudeln2 aktiv_icon

10:36 Uhr, 27.07.2017

Ich würde das gerne mal voll durchrechnen mit den folgenden Angaben:

\vec{F {(t)}_{0}} = {2 ⋆ t - 1, 1 + t}

\vec{r (t)} = (1, 2 - t)

Die Ableitung von

\vec{r (t)}

wäre

{1, - 1}

Jetzt müsste ich aber das Wegintegral irgendwie in ein Zeitintegral umwandeln. Dazu erweitere ich rechts alles um

\frac{d t}{d t}

V (P) = \int_{0}^{1} \frac{\vec{F {(t)}_{0}} \cdot d \vec{r (t)}}{d t} d t

Jetzt weiß ich aber nicht weiter. Wie gehts jetzt weiter, damit ich

\vec{F {(t)}_{0}}

vor das Integral ziehen kann?

DerDepp aktiv_icon

11:50 Uhr, 27.07.2017

Hossa :-)

Ich verstehe noch nicht ganz dein Problem. Das Integral ist doch einfach nur eine Kurzform für

V (P) = \int_{P}^{P_{0}} {\vec{F}}_{0} \cdot d \vec{r} = \int_{P_{x}}^{P_{0, x}} F_{0, x} d x + \int_{P_{y}}^{P_{0, y}} F_{0, y} d y + \int_{P_{z}}^{P_{0, z}} F_{0, z} d z

Das mit dem

{\vec{F}}_{0}

vor DAS Integral ziehen ist da ein bisschen irreführend. Es sind ja eigentlich 3 Integrale, für jede Koordinate ein eigenes. Die Substitution ist nun für das erste Integral

x = x (t)

x = x (t) \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \dot{x} (t) = v_{x} \Rightarrow d x = v_{x} d t

Wenn du diese Subsitution für alle 3 Variablen durchführst, kannst du auch kurz schreiben:

d \vec{r} = \vec{v} d t

Das "Erweitern" mit

d t

ist also nichts anderes als die Substituion

d \vec{r} = \vec{v} d t

pwmeyer aktiv_icon

12:42 Uhr, 27.07.2017

Im übrigen ist bei Deinem Beispiel

F

nicht konstant. Und nicht-konstantes

F

würde (praktisch) nicht von der Zeit abhängen sondern von

r

. Kurz: Dein "Beispiel" ist gar keins.

Gruß pwm

nudeln2 aktiv_icon

12:49 Uhr, 27.07.2017

"Im übrigen ist bei Deinem Beispiel

F

nicht konstant"

Ach ja, stimmt. Das

\vec{F_{0}},

das ich in meinem Beispiel ausgewählt habe, ist eigentlich ein Blödsinn. Müsste ich mir was anderes ausdenken, vielleicht:

\vec{F_{0}} = (1, 2)

\vec{F {(s)}_{0}}

konstant im Ort oder ob

\vec{F {(t)}_{0}}

konstant in der Zeit sollte dann ja das Gleiche sein, also einfach nur

\vec{F_{0}},

richtig?

nudeln2 aktiv_icon

13:27 Uhr, 27.07.2017

@DerDepp

OK, ich habe dann also:

V (P) = \int_{0}^{t_{0}} \vec{F_{0}} \cdot \vec{v} d t

Wobei

\vec{v}

eine Funktion von

t

ist. Also eigentlich habe ich:

V (P) = \int_{0}^{t_{0}} \vec{F_{0}} \cdot \vec{v (t)} d t

Nach der Zeitspanne

t_{0}

(Zeitintegral) bin ich am Ort

P_{0}

(Wegintegral).

Das ist schon mal echt super, danke. Damit wäre ja schon mal grundsätlich geklärt, wie ich vom Wegintegral auf das Zeitintegral komme.

Jetzt wäre noch interessant zu wissen, warum es erlaubt ist, das Integral einfach zwischen ein dot-Produkt reinzusetzen, so wie in diesem Thema anfangs aufgezeigt.

Es sollte jetzt also auch im Zeitintegral erlaubt sein:

V (P) = \vec{F_{0}} \cdot \int_{0}^{t_{0}} \vec{v} d t

Ich vermute, der Trick liegt wieder darin, das dot-Produkt aufzulösen, die Summe auf 3 Integrale aufzuteilen und den konstanten F-Parameter vor das jeweilige Integral zu ziehen?

EDIT: da hatte ich

d \vec{v}

statt

\vec{v}

stehen, sorry.

nudeln2 aktiv_icon

14:03 Uhr, 27.07.2017

Aber irgendwas ist da seltsam.

Zur Formel:

\int_{P_{x}}^{P_{0, x}} F_{0, x} ⋆ d x = \int_{P_{x}}^{P_{0, x}} F_{0, x} ⋆ d ({\vec{r}}_{x})

Hier folgt eine Multiplikation mit der Ableitung der X-Komponente von

\vec{r}

.

Ich würde das jetzt gerne anders anschreiben, nämlich so:

\int_{P_{x}}^{P_{0, x}} F_{0, x} ⋆ {(d \vec{r})}_{x}

Hier erfolgt eine Multiplikation mit der X-Komponente der Ableitung von

\vec{r}

.

Das sind doch 2 ganz unterschiedliche Dinge, oder? Und wenn ich das dot-Produkt auflöse, erhalte ich doch die zweite Variante, oder? Das würde dann aber doch bedeuten, dass ich wie bei der ersten Variante gar kein

x

habe, wonach ich subtituieren könnte. Stimmt das???

DerDepp aktiv_icon

14:42 Uhr, 27.07.2017

Die Ableitung der x-Komponente von

\vec{r}

ist die Ableitung von

x (t)

also die Geschwindigkeit

v_{x} (t)

. Die x-Komponente der Ableitung von

\vec{r}

ist die x-Komponente der Geschwindigkeit

\vec{v}

, also auch

v_{x} (t)

. Wo siehst du da genau den Unterschied? Für mich ist das ein und dasselbe.

Zu deiner Frage mit dem Herausziehen des konstanten Vektors vor das Integral, musst du streng genommen zunächst definieren, dass das Integral über einen Vektor eine symbolsiche Schreibweise ist für die Integrale über die einzelnen Komponenten:

\int_{0}^{t} \vec{v} d t = (\begin{array}{c} \int_{0}^{t} v_{x} d t \\ \int_{0}^{t} v_{y} d t \\ \int_{0}^{t} v_{z} d t \end{array})

Genauso wie man einen Vektor komponentenweise ableitet, integriert man ihn auch komponentenweise. Vielleicht ist das der fehlende Baustein zum Verständnis?

nudeln2 aktiv_icon

15:41 Uhr, 27.07.2017

Das ist auf jeden Fall interessant, so etwas mal gesehen zu haben, aber ich verstehe nicht, wie mir das weiterhelfen soll.

Um die Frage zu wiederholen:

Wieso ist es erlaubt, das (!)dot-Produkt(!)

\int_{P}^{P_{0}} \vec{F_{0}} \cdot d \vec{r}

zu "zerteilen", sodass dann plötzlich das Integral sozusagen mittendrin aufscheint:

\vec{F_{0}} \cdot \int_{P}^{P_{0}} d \vec{r}

.

Es müsste scheinbar die mathematisch Regel gelten (hier einfacher, und auch in Form eines Zeitintegrals aufgeschrieben):

\int \vec{c} \cdot \vec{v (t)} d t = \vec{c} \cdot \int \vec{v (t)} d t

mit

\vec{c} =

zeitunabhängigen, konstanten Vektor

Ich würde gerne einen Beweis sehen, dass das wirklich erlaubt ist.

nudeln2 aktiv_icon

16:23 Uhr, 27.07.2017

OK, hab's herausgefunden :-)

Ich habe jetzt nicht verzweifelt versucht, hier mit den Variablen irgendwie rumzujonglieren, sondern habe ein konkretes Beispiel genommen. Da sieht man gleich, dass das passt.

Danke euch allen :-)

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