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Stammfunktion von Klammerausdrücken

Schüler

Tags: Exponent, Klammer, Stammfunktion

anonymous

10:02 Uhr, 24.02.2014

Hallo! Ich habe hier ein kleines matheproblem, womit ich nicht recht zurecht komme. Ich hab nämlich keine Ahnung wie ich einfache Klammerausdrücke mit Exponenten außen integrieren kann..

z . B : {(3 x^{2} + 8)}^{3}

oder

4 \cdot {(3 x^{2} + 8)}^{3}

Wie mache ich das? Kann mir das bitte jemand verklickern? Mit der Kettenregel geht das ja nur bei der Ableitung..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Potenzfunktionen - Einführung
Stammfunktion
ln-Funktion

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10:26 Uhr, 24.02.2014

Wenn in der Klammer ein linearer Ausdruck steht, dann kann man die Kettenregel leicht "zurück rechnen". (Eigentlich ist das eine lineare Substitution.)

Beispiel:

f (x) = {(3 x + 8)}^{3}

F (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot {(3 x + 8)}^{4} + c

In Deinen Beispielen bleibt aber wohl nichts anderes übrig, als die Klammer zunächst aufzulösen.

anonymous

11:48 Uhr, 24.02.2014

okeyyyy... also, kannst du bitte dann mal kurz ein Beispiel für einen Ausdruck mit Quadrat im Klammern und einmal ohne Quadrat im Klammern vorrechenen? Kettenregel kann ich eigentlich gut mit rechnen, aber ich hab schon ein Gefühl dafür entwickelt und weiß daher jetzt nicht so genau wie es formelmäßig umgekehrt ablaufen muss.

P . S :

Von der Substitution habe ich übrigens noch nie was gelesen...sind wohl noch so weit im Unterricht nicht. Da ich jetzt aber eine heiße Lernphase habe, will ich das nicht erst später durchmachen wo ich eigentlich im "0-Bock Modus" bin :-)

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12:00 Uhr, 24.02.2014

Ein Beispiel hab ich doch schon aufgeschrieben. Die innere Ableitung ist 3. Dies wird durch den Faktor

\frac{1}{3}

am Anfang kompensiert.

Dies ist ein sehr einfacher Fall einer Substitution. Im Grundkurs wird die Substitution nicht behandelt, so weit ich weiß.

Bei

{(3 x^{2} + 8)}^{3}

erst die Klammer auflösen:

27 x^{6} + 216 x^{4} + 576 x^{2} + 512

Dann erst die Stammfunktion bilden.

anonymous

19:02 Uhr, 24.02.2014

Hab eine Formel gefunden:

\frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1}{a}

(ax+b)^(n+1)

+ c

Sieht so ähnlich aus wie bei dem obrigen Beispiel. Lässt sich damit was anfangen? Auch für nicht lineare Funktionen?

pleindespoir aktiv_icon

19:20 Uhr, 24.02.2014

"Staffunktion"

was ist denn das überhaupt ?

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22:38 Uhr, 24.02.2014

Ja, Deine Formel gibt die Stammfunktion von

{(a \cdot x + b)}^{n}

an.

Für einen nichtlinearen Ausdruck in der Klammer taugt das Prinzip aber nichts, da die innere Ableitung ein

x

enthält. Dann kommt Dir die Produktregel bzw. Quotientenregel in die Quere!

anonymous

10:21 Uhr, 25.02.2014

Hab Titel korrigiert

\land

Produktregel und Quotientenregel... bei nicht liniearen Funktionen. Hmm....

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10:31 Uhr, 25.02.2014

Das war wie folgt gemeint:

Wenn Du das beispielsweise bei

f (x) = {(x^{2} + a)}^{n}

analog machen wolltest:

F (x) = \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1}{2 x} \cdot {(x^{2} + a)}^{n + 1} + c,

dann ist das natürlich falsch, weil

F (x)

jetzt nach Produktregel bzw. Quotientenregel abzuleiten ist!

anonymous

11:20 Uhr, 25.02.2014

ok, zugegben, es ist grad bischen Chaos in meinem Kopf. Quotientenregel ist doch eher analog zu Partialbruchzerlegung und Produktregel zu partieller Integration (Ja ich hab mich informiert :-) ). Solche "verkettete" Funktion würde eher mit der Substitution klappen oder nicht?

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11:25 Uhr, 25.02.2014

Ja, Substitution wäre schon passend. aber das führt noch lange nicht bei jedem Beispiel zum Erfolg!

anonymous

12:26 Uhr, 25.02.2014

Also dann...die binomische Formel anwenden oder wie?

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12:28 Uhr, 25.02.2014

Auf was für eine Aufgabe beziehst Du Dich denn jetzt?

anonymous

12:41 Uhr, 25.02.2014

auf die nicht-lineare Gleichung in den Klammern

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12:50 Uhr, 25.02.2014

Das ist viel zu allgemein. Du musst schon mal etwas konkreter werden.

anonymous

13:47 Uhr, 25.02.2014

{(3 x^{2} + 6)}^{3}

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14:03 Uhr, 25.02.2014

Ja, die einzige Chance, die ich hier sehe, ist die Klammer aufzulösen, dann Stammfunktion bilden!

anonymous

14:15 Uhr, 25.02.2014

ok, danke. Hab ich soweit nachvollziehen können.. ein Letztes noch:
Wie sieht es formell mit rationalen Werten aus? Wie...
1.

\frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} d x

\frac{10}{{(x - 4)}^{5}} d x

Weil bei sowas wie

\frac{3}{4 x + 1} d x

wäre das Ergebnis:

F (X) = (\frac{3}{4}) ln (4 x + 1) + C

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14:37 Uhr, 25.02.2014

Das ist wieder die lineare Substitution!

f (x) = \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 6 {(2 x - 1)}^{- 3}

F (x) = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2} \cdot {(2 x - 1)}^{- 2} + c = - \frac{3}{2 {(2 x - 1)}^{2}} + c

anonymous

14:52 Uhr, 25.02.2014

ah, ok... oder auch

F (x) = - (\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + C

[

habs halt gern so übersichtlich auseinadner)
Bei

\frac{10}{{(x - 4)}^{5}} d x

wäre es dann...

F (x) = - (\frac{10}{4}) \cdot \frac{1}{{(x - 4)}^{4}} + C

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16:30 Uhr, 25.02.2014

Ja, passt!

anonymous

11:40 Uhr, 26.02.2014

gut, passt schooon :-D)
Ok, dann wars dann. Vielen Dank für die Hilfe!

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