Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Stammfunktion mit Formansatz-Problem m. Ausklammer

Stammfunktion mit Formansatz-Problem m. Ausklammer

Schüler Abendgymnasium,

Tags: Ausklammern, Formansatz, Funktion, Stammfunktion

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Eria99

Eria99 aktiv_icon

18:38 Uhr, 15.05.2022

Antworten
Hallo zusammen,

ich befinde mich in der Vorbereitung für mein Abitur, und bin in Mathe leider nicht so gut. Ich bearbeite zZ eine Aufgabe, bei der es darum geht die Stammfunktion mit einem Formansatz zu bilden und die Koeffizienten zu vergleichen. Obwohl ich die Lösung habe, weiß ich aber beim besten Willen nicht, wie das Ausklammern hier funktioniert.

Folgende Aufgabe:

Berechnen Sie mithilfe des Formansatzes F(x)=(ax+b) ⋅ e^1−1/4 x eine Stammfunktion der Funktion f.
[zurKontrolle:F(x)=(−3⋅x−12)⋅e^1-1/4x ]

die Ausgangsfunktion lautet f(x)=34 ⋅x⋅e^1− 14x

Ich habe nun mit Hilfe der Produkt- & Kettenregel folgendes errechnet:
F'(x)=a⋅e^1-1/4x +(a⋅x+b)⋅e^1-1/4x ⋅(-1/4) ------ Also das e ist hoch 1-14x

das ist laut Lösung auch richtig. Im nächsten Schritt wird in der Lösung nun irgendwas mit dem (-14) gemacht, was ich nicht verstehe und ich schäme mich jetzt schon da es wahrscheinlich Stoff aus der 8. Klasse ist... folgendes wird in der Lösung gemacht:

F'(x)=a⋅e^1-1/4x +(a⋅x+b)⋅e^1-1/4x ⋅(-1/4) =ae1-14x -(1/4⋅a⋅x+ 14 ⋅b) ⋅ e1-14x

ob mir das wohl jemand hier erklären könnte was hier gemacht wurde und ob es vllt dafür eine Regel gibt?

Vielen Dank im Vorraus,


eure Eria

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Respon

Respon

19:46 Uhr, 15.05.2022

Antworten
Die Formatierung deine Textes ist wirklich sehr "gewöhnungsbedürftig".
34xe1-x4 dx=???
Ansatz:
34xe1-x4dx=(ax+b)e1-x4
[(ax+b)e1-x4]'=ae1-x4+(ax+b)e1-x4(-14)=
=e1-x4[a+(ax+b)(-14)]=e1-x4[a-a4x-b4]

Koeffizientenvergleich mit dem Integranden:
-a4=34a=-3

a-b4=0
-3-b4=0b=-12






Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

19:53 Uhr, 15.05.2022

Antworten
Also, wenn der Formansatz gegeben ist,

musst Du den ableiten und dann gucken, also los:

((ax+b)e1-14x)'

=(ax+b)'e1-14x+(ax+b)(e1-14x)'   (Produktregel)

=ae1-14x+(ax+b)e1-14x(1-14x)'   (Kettenregel für die e-Funktion)

=ae1-14x+(ax+b)e1-14x(-14)   (zusammenfassen)

=(-14ax+a-14b)e1-14x.

Es muss nun -14a=34 und a-14b=0 gelten.

Die erste Gleichung liefert a=-3 und

das mit der zweiten dann b=-12.


Das Zusammenfassen nochmal gaaanz mikroschrittig:

ae1-14x+(ax+b)e1-14x(-14)

=ae1-14x+(-14(ax+b))e1-14x

=ae1-14x+(-14ax-14b)e1-14x

=(a+(-14ax-14b))e1-14x

=(-14ax+a-14b)e1-14x.

Wenn Du da die Nerven verlierst, hilft vielleicht das:

Schreib irgendwas für e1-14x,z.B. T und zupf dann

(-14ax+a-14b)T auseinander,

(-14ax+a-14b)T=aT+(-14ax-14b)T=aT-14(ax+b)T.

Distributivgesetz und Ausklammern also

und oben haben wir das andersrum gemacht...



Frage beantwortet
Eria99

Eria99 aktiv_icon

22:01 Uhr, 15.05.2022

Antworten
Vielen lieben Dank an Ulf Silbenblitz!! Deine Antwort ist super und hat mir sehr geholfen.
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

22:19 Uhr, 15.05.2022

Antworten
Bedanke Dich bitte auch bei Respon -
sie hat es sicher gut gemeint !