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Stammfunktion von f(x) = [ln(x)]^2

Schüler Oberstufenzentrum, 12. Klassenstufe

Tags: Bild, Stammfunktion

tiffi226 aktiv_icon

00:40 Uhr, 17.04.2010

hi

wir sollen also hausaufgabe einige funktionen erst quadrieren und dann von der quadrierten funtion die stammfunktion bilden.

Aufgabe:

f (x) = ln (x)

[

f(x)]² = [ln(x)]²

das habe ich bisher auch schon geschafft:-D)

nur leider schaffe ich es nicht die stammfunktion richitg zu bilden. ich habe aber schon im net gefunden das die lösung

F (x) =

[

ln(x)]²-2x*ln(x)+2x sein soll.

könnt ihr mir bitte helfen

= (

gruß tiffi226

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

00:57 Uhr, 17.04.2010

Hallo,
das kannst du mit parieller Integration lösen:

\int \ln^{2} (x) d x = x (\ln (x) - 1) \cdot \ln (x) - \int x \cdot (\ln (x) - 1) \cdot \frac{1}{x} d x

= x (\ln (x) - 1) \cdot \ln (x) - \int \ln (x) - 1 d x

= x (\ln (x) - 1) \cdot \ln (x) - \int \ln (x) d x + \int 1 d x

= x (\ln (x) - 1) \cdot \ln (x) - x (\ln (x) - 1) + x + c

= (x \ln (x) - x) \cdot \ln (x) - x \ln (x) + x + x + c

= x \ln^{2} (x) - x \ln (x) - x \ln (x) + 2 x + c

= x \ln^{2} (x) - 2 x \ln (x) + 2 x + c

Alx123 aktiv_icon

00:57 Uhr, 17.04.2010

Hallo,
das kannst du mit partieller Integration lösen:

\int \ln^{2} (x) d x = x (\ln (x) - 1) \cdot \ln (x) - \int x \cdot (\ln (x) - 1) \cdot \frac{1}{x} d x

= x (\ln (x) - 1) \cdot \ln (x) - \int \ln (x) - 1 d x

= x (\ln (x) - 1) \cdot \ln (x) - \int \ln (x) d x + \int 1 d x

= x (\ln (x) - 1) \cdot \ln (x) - x (\ln (x) - 1) + x + c

= (x \ln (x) - x) \cdot \ln (x) - x \ln (x) + x + x + c

= x \ln^{2} (x) - x \ln (x) - x \ln (x) + 2 x + c

= x \ln^{2} (x) - 2 x \ln (x) + 2 x + c

tiffi226 aktiv_icon

10:51 Uhr, 17.04.2010

hi

ich hab jetzt mal was auf

n

blatt geschrieben und eingescannt da ich zb. gle4icch in der ersten zeile was nicht verstehe.

Alx123 aktiv_icon

11:14 Uhr, 17.04.2010

Das wird wohl nicht richtig dargestellt. Es ist so gemeint wie du es geschrieben hast:

(\ln (x))^{2} = \ln^{2} (x)

tiffi226 aktiv_icon

11:51 Uhr, 17.04.2010

ok.

aber dann verstehe ich immernoch nicht:

bei der produktintegration (partielle integration) wird doch ein teil der funktion "

u'

" und das andere "

v

" gesetzt.

und dann lautet die formel:

u \cdot v -

∫

u \cdot v'

aber bei dem was du geschrieben hast sehen ich garnicht durch was

u'

und was

v

sein soll:-D):-D)

tut mir leid, wenn ich mich zu bld anstelle:-D)

gruß tiffi226

Alx123 aktiv_icon

11:57 Uhr, 17.04.2010

Das ist hier auch egal, denn

u

und

v

sind hier gleich, das Integral lautet ja:

\int \ln (x) \cdot \ln (x) d x

tiffi226 aktiv_icon

12:05 Uhr, 17.04.2010

tja da haste natürlich recht:-D):-D)

ich werde es mal am nachmittag durchprobieren und fals ich noch weitere fragen habe meld ich mich nochmal.

vielen dank!!!

gruß tiffi226

tiffi226 aktiv_icon

12:21 Uhr, 17.04.2010

also ich habs mal schnell auf

n

zettel durchgerechnet.

nur hab ich noch eine stelle bei der ich was nicht verstehe.

denn du schreibst in deiner rechnung, dass die aufleitung von "

ln (x)

" gleich "x*(ln(x)-1)" sei.

jedoch habe ich in meinem tafelwerk eine andere gleichung gefunden.

F (x) =

x \cdot (ln (x) - x)

"

ist das was ich gefunden habe falsch??

JohnJohn aktiv_icon

13:46 Uhr, 17.04.2010

Hi,

also soweit ich weiß ist die Integration vom ln(x) = x*ln(x)-x, was sich durch partielle integration beweisen lässt:

Schreibe ln(x) um als $1 \cdot \ln (x)$ ; Sei 1=v' und ln(x)=u

$\int 1 \cdot \ln (x) d x = x \cdot \ln (x) - \int \frac{1}{x} x d x = x \cdot \ln (x) - x$

q.e.d.

Weiß zwar nicht ob das hilft, aber deine Rechnung kann ich nur bestätigen.

Gruß, JJ

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