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Stammfunktion von ln x/ x

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, ln-Funktion, Stammfunktion

lilymck aktiv_icon

22:52 Uhr, 25.01.2010

Wie berechne ich das unbestimmte Integral von

\frac{ln (x)}{x}

?
Die Lösung ist

\frac{{(ln (x))}^{2}}{2},

warum???

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
e-Funktion
ln-Funktion

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MBler07 aktiv_icon

22:56 Uhr, 25.01.2010

Ich würd das mit einer Substitution angehen.

Grüße

lilymck aktiv_icon

23:00 Uhr, 25.01.2010

Ich würde es umschreiben als

\frac{1}{x} \cdot ln (x)

und dann mit der Formel

Integral

f (x) \cdot

g´(x)

= f (x) \cdot g (x) -

Integral f´(x)*g(x)

arbeiten...da komme ich dann nicht weiter, weil das ja

ln (x) \cdot ln (x) -

Integral

\frac{1}{x} \cdot ln (x)

wäre...oder nicht?

Wie wäre es denn mit der Substitution?

MBler07 aktiv_icon

23:04 Uhr, 25.01.2010

Was du versuchst ist partielle Integration. Das funktioniert hier nicht, da beide Faktoren unendlich differenzierbar sind.
Aber die Anwendung ist richtig.

Substituiere

u = ln (x)

lilymck aktiv_icon

23:21 Uhr, 25.01.2010

Also..

ln (x) = u

davon die Ableitung bilden u´=

\frac{1}{x}

\frac{1}{x} =

du/dv nach dv auflösen

- \to

:-D)u

du

\cdot \frac{1}{x} =

dv

in Ausgangsfunktion

u

und dv einsetzen

\to

Integral

\frac{1}{x} \cdot u \cdot \frac{1}{x} \cdot

du

umformen

\to \frac{1}{x^{2}} \cdot u + c

resubstituieren

\frac{1}{x^{2}} \cdot ln (x) + c \to \frac{ln (x)}{x^{2}}

...die Lösung in meinem Buch ist anders..:(

???

lilymck aktiv_icon

23:23 Uhr, 25.01.2010

..soll natürlich heißen geteilt durch du und nicht der smiley :-)

MBler07 aktiv_icon

23:25 Uhr, 25.01.2010

Ja, Ja...Die Grundlagen...
:-)

Umstellen einer Gleichung:

\frac{d u}{d v} = \frac{1}{x}

d u = \frac{1}{x} \cdot d v

d v = x \cdot d u

Und dann weiter.

Die "erste" Variable darf übrigens überhaupt nicht mehr auftauchen. Bevor du integrierst darf nur noch

u

im Term stehen!

lilymck aktiv_icon

23:38 Uhr, 25.01.2010

Integral

\frac{1}{x} \cdot u \cdot x \cdot

\to x \cdot u

\to

resubstituieren Integral

x \cdot ln (x) + c

...ratlos.. jetzt partielle Integration?

MBler07 aktiv_icon

23:43 Uhr, 25.01.2010

Du solltest ins Bett. Das ist jetzt schon der zweite riesen Flüchtigkeitsfehler.Du fängst an mit

\frac{1}{x} \cdot u \cdot x

du
und folgerst daraus
x*u????

Wo ist denn das

\frac{1}{x}

hin?
Genau!
Es hat sich mit dem

x

weggekürzt. :-)
Also bleibt

\int u

du

Gute Nacht.

vulpi aktiv_icon

23:47 Uhr, 25.01.2010

Bist du doch da, oder dem Betthüpferl-Befehl gefolgt ?

lilymck aktiv_icon

23:50 Uhr, 25.01.2010

..noch da.. und weiterhin ratlos

vulpi aktiv_icon

23:57 Uhr, 25.01.2010

Hi, die Sache ist gar nicht so wild !
Hab´ den langen Dialog etwas mitverfolgt :-)

Am besten nochmal frisch von vorne:

Du hast eine Funktion der Form

U \cdot U'

gegeben.

Das Ergebnis des

\int (u \cdot u') d x

ist allgemein

\frac{u^{2}}{2} + C

Das läßt sich ja schnell nachrechnen , alldieweil
die Abl. von

\frac{u^{2}}{2}

nach Kettenregel genau besagtes

u \cdot u'

ergibt.

Das bestimmen des Integrals:

Allgemein weiter oder mit deinem Beispiel ?

. .

lilymck aktiv_icon

00:05 Uhr, 26.01.2010

einen Moment noch..danach gerne allgemein weiter:-)

wieso denn

\frac{u^{2}}{2}

mit der Kettenregel..

die Ableitung von

\frac{u^{2}}{2},

also

\frac{1}{2} \cdot u^{2}

mit Produktregel ist bei mir

0 \cdot u^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 u \to u

..??? wo ist der Fehler?

vulpi aktiv_icon

00:10 Uhr, 26.01.2010

UFF!

U

ist eine Funktion von

x,

also Kettenregel.
Bsispiel:

u

wäre

ln (x)

(\frac{{ln (x)}^{2}}{2})' = 2 \cdot ln (x) \cdot \frac{1}{x} / 2 = \frac{ln (x)}{x}

Und bitte kein PRODUKTREGEL bei Zahlen und anderen KONSTANTEN wie dem

\frac{1}{2}

anwenden.
Konstanten bleiben eifach nur erhalten.

...

lilymck aktiv_icon

00:10 Uhr, 26.01.2010

...und das ist ja auch

1 \cdot u

und somit ja

u \cdot

u´...ich habs :-)schon klar

wima2008 aktiv_icon

00:15 Uhr, 26.01.2010

ich hab mir das jetzt mal komplett durchgelesen, und ich kann nur sagen: Bitte, nutzt vernünftige schreibweise für sowas, sonst kommen die Fragensteller nur unnötig durcheinander ;-)

schönen Abend noch, mfg julian

lilymck aktiv_icon

00:19 Uhr, 26.01.2010

ja..ln(x)^2 mit der Kettenregel, das

\frac{1}{2}

bleibt stehen, kürzt sich mit der 2 und es bleibt

\frac{ln (x)}{x} . .

.

Vielen Dank! Und sorry für den kurzen Aussetzer..natürlich nicht die Produktregel, sondern ganz einfach FAKTORREGEL und VERKETTUNG bei

ln (x)!!!

DANKE vulpi! :-)

vulpi aktiv_icon

00:19 Uhr, 26.01.2010

. .

.

ich würd´ sagen, ich mach die Geschichte jetzt allgemein weiter, weil übersichtlicher.
(außerdem macht es dann bei

\int sin (x) \cdot cos (x) d x

hoffentlich auch sofort klick!)

Also, dieses

u \cdot u'

läßt sich auch sehr cool per partieller Integration ausrechnen,
du warst nämlich vor ´ner Stunde eigentlich schon am Ziel !
(da kam leider nur der Hinweis, dass partielle Integration hier nicht funzt :-)

Also

\int (u \cdot u') d x = u \cdot u - \int (u' \cdot u) d x

So, Gretchenfrage:

Fällt an den beiden beteiligten Integralen irgendetwas auf?

...

lilymck aktiv_icon

00:23 Uhr, 26.01.2010

Integral (u*u´)

= \frac{u^{2}}{2} + c

btw: wie schreibt man das Integralzeichen?

vulpi aktiv_icon

00:26 Uhr, 26.01.2010

einfach "int" (natürlich ohne Gänsefüßchen)

zurück zur Frage:

guck mal die 2 Integrale in meinem letzten Posting an...

lilymck aktiv_icon

00:28 Uhr, 26.01.2010

ja hab ich gemacht und sehe ein Produkt, welches einfach nur verdreht ist...und noch vieles anderes:-)..worauf zielt denn jetzt die Frage genau?

lilymck aktiv_icon

00:30 Uhr, 26.01.2010

..und der Ansatz bei

\int sin \cdot cos

wäre bei mir

- cos \cdot cos - \int cos \cdot sin

. .

vulpi aktiv_icon

00:33 Uhr, 26.01.2010

Darauf, dass beide Integrale das gleiche sind,
also auf beiden Seiten der Gleichung addieren

\Rightarrow

\int (u u') d x + \int (u' u) d x = u u

2 \cdot \int (u u') d x = u^{2}

\int (u u') d x = \frac{u^{2}}{2}

dass

u \cdot u' = u' \cdot u

leuchtet ja ein.

hoffe, geholfen zu haben !

lilymck aktiv_icon

00:46 Uhr, 26.01.2010

Also zurück zu meinem Ansatz mit partieller Integration!

\int \frac{1}{x} \cdot ln (x) = ln (x) \cdot ln (x) - \int ln (x) \cdot \frac{1}{x}

auf beiden Seiten das Integral addieren

\Rightarrow 2 \int \frac{1}{x} \cdot ln (x) = {(ln (x))}^{2}

durch 2 teilen

\Rightarrow \int \frac{1}{x} \cdot ln (x) = \frac{{(ln (x))}^{2}}{2} + C

Danke!

vulpi aktiv_icon

00:50 Uhr, 26.01.2010

OK, dann gute Nacht.

Aber merk dir unbedingt das Ergebnis dieser nächtlichen Sitzung, dann hat sie sich gelohnt.

Immer wenn ein Teil wie

f \cdot f'

integriert werden muß, bist du schon fertig
mit

\frac{f^{2}}{2}!

Also sowas wie

\int sin \cdot cos d x

kann man dann sofort im Kopf erledigen

\frac{1}{2} {sin}^{2} (x)

ciao

MBler07 aktiv_icon

19:49 Uhr, 26.01.2010

Ich habe absichtlich gesagt, dass das über partielle Integration nicht funktioniert, genauso wie ich die vereinfachte Integration ignoriert habe.
Offensichtlich ist die Threaderstellerin noch nicht so tief in der Theamtik drin. Also habe ich angenommen, dass es sich um eine Übungsaufgabe handelt. Und für diese ist der Standardweg nunmal Substitution.
Vereinfachungen und "Tricks" sollte man erst anwenden (bzw. kennenlernen), wenn man die Grundlagen richtig verstanden hat.

@lilymck
Keine Ahnung was du studierst, aber schreib das nächste mal doch bitte was zu deinem Niveau dazu bzw wie gut du das Thema verstehst. Dann hättest du von mir andere Antworten bekommen.

BjBot aktiv_icon

20:20 Uhr, 26.01.2010

Mit Absicht sagen, dass es mit einer Methode nicht geht, obwohl es sehr wohl geht...das halte ich zumindest für fragwürdig und kann für viel Verwirrung sorgen.
Dass hier eine Substitution der Standardweg ist, kann man so pauschal auch nicht sagen.
Viel mehr ist das Schöne an dieser Funktion, dass man hier sowohl durch Substitution als auch durch partielle Integration zum Ziel kommt und genau das sollte man in meinen Augen im Wesentlichen aus dieser Aufgabe mitnehmen.
Ich persönlich würde den Weg, den ein Fragesteller selbst vorschlägt dann auch weiter verfolgen, denn schließlich wurden sich ja dann aus eigenen Stücken schon Gedanken gemacht und ihre Gedanken waren ja durchaus richtig.
Allein die Tatsache, dass sie diese "Formel" benutzt lässt ja darauf schließen, dass ihr die partielle Integration nicht unbekannt ist und dass jeder schreibt wie genau er ein Thema versteht und wie sein gegenwärtiger Wissensstand ist, das wäre zwar ideal, aber eher utopisch und unrealistisch ;-)

MBler07 aktiv_icon

20:39 Uhr, 26.01.2010

Da zu Lehrmethoden und der Einschätzung von Personen jeder seine eigene Meinung hat und das hier eine Matheforum ist, werde ich weitere Antworten, die sich nicht direkt auf die Aufgabe beziehen, löschen.

Wer gerne mit mir diskutieren möchte, dem stehe ich selbstverständlich per PM zu Verfügung.

WinterGeist

09:08 Uhr, 16.04.2020

Vielen Dank für die Unterstützung und die Lösung. Ihr habt mir damit sehr geholfen.
Es wurde gesagt, dass es auch mit Substitution gelöst werden könnte. Wie?

Atlantik aktiv_icon

11:18 Uhr, 16.04.2020

\int \frac{ln (x)}{x} \cdot d x

Substitution:

ln (x) = u

e^{ln (x)} = e^{u}

x = e^{u} \to \frac{d x}{d u} = e^{u} \to d x = e^{u} \cdot d u

\int \frac{u}{e^{u}} \cdot e^{u} \cdot d u = \int u \cdot d u = \frac{u^{2}}{2} + C

Resubstitution:

\int \frac{ln (x)}{x} \cdot d x = \frac{{(ln (x))}^{2}}{2} + C = \frac{{ln}^{2} (x)}{2} + C

mfG

Atlantik

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