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Streng monoton wachsende positive Funktionen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, streng monoton

freshiii aktiv_icon

15:42 Uhr, 12.11.2010

Hallo Leute,

habe mal eine Frage zu einer Aufgabe :-)

"Zeigen Sie, dass Summe und Produkt streng monoton wachsender positiver Funktionen streng monoton wachsend sind."

Ich würde mal gerne wissen, wenn ich sowas "Beweisen" soll, ob das eher eine Sache von auswendig lernen der Beweise ist, oder ich mir irgendeine Esel-Brücke denken kann und sie leicht herleiten kann. Habe da so meine schwierigkeiten mit.

Wäre froh über einen verständnisvollen Beweis, wenn es sowas gibt^^

Danke schonmal!!

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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hagman aktiv_icon

22:55 Uhr, 12.11.2010

Wenn es einen verständnisvollen Beweis gibt, bzw. spätestens wenn du einmal die Begriffe besser verinnerlicht haben wirst, besteht keine Notwendigkeit, solch einen Beweis auswendig zu lernen, weil er dann einfach naheliegend sein wird.

Abgesehen davon hilft es immer, erst einmal die Definitionen, die in Voraussetzung und Behauoptung auftreten zu erstezen.

Gegeben ist also:

f : ℝ \to ℝ^{+}, g : ℝ \to ℝ^{+}

sind Funktionen mit der Eigenschaft, dass aus

x_{1} < x_{2}

stets auch

f (x_{1}) < f (x_{2})

sowie

g (x_{1}) < g (x_{2})

folgt.
Zu zeigen ist für die Summe, dass aus

x_{1} < x_{2}

stets

f (x_{1}) + g (x_{1}) < f (x_{2}) + g (x_{2})

folgt.
Das sollte aber anhand der gegebenen Voraussetzungen klar sein:

f (x_{1}) + g (x_{1}) < f (x_{2}) + g (x_{1}) < f (x_{2}) + g (x_{2})

.
Für die Summe ist zu zeigen, dass aus

x_{1} < x_{2}

stets

f (x_{1}) \cdot g (x_{1}) < f (x_{2}) \cdot g (x_{2})

folgt. Auch hier findet man einen geeigneten Zwischenausdruck, allerdings etwas weniger offenasichtlich. Hier benötigen wir zudem die bisher vernachlässigte Voraussetzung, dass

f, g

positiv sind:
Wegen

f (x_{1}) > 0

folgt aus

g (x_{1}) < g (x_{2})

auch

f (x_{1}) \cdot g (x_{1}) < f (x_{1}) \cdot g (x_{2})

. Und wegen

g (x_{2}) > 0

folgt aus

f (x_{1}) < f (x_{2})

auch

f (x_{1}) \cdot g (x_{2}) < f (x_{2}) \cdot g (x_{2})

. Zusammen also

f (x_{1}) \cdot g (x_{1}) < f (x_{1}) \cdot g (x_{2}) < f (x_{2}) \cdot g (x_{2})

freshiii aktiv_icon

18:59 Uhr, 14.11.2010

Ich danke dir!!

LaisAbbasNadjem aktiv_icon

21:30 Uhr, 09.11.2018

@Hagman : Warum muss man für eine Summe ein Produkt angeben?
Oder hast du dich einfach für den zweiten Teil verschrieben?

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