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Sup, Inf, Min, Max von Mengen beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Infimum, Maximum, Minimum, Supremum

nilpferd3 aktiv_icon

13:10 Uhr, 20.11.2014

Hallo ihr,
hab zwar schon eigene Ideen zu dieser Aufgabe, aber speziell bei der letzten bin ich unsicher:

Bestimmen Sie

max B, min B, \supset B

und inf

B

für die folgenden Teilmengen

B

von

R,

sofern diese existieren. Beweisen Sie jeweils Ihre Antwort

a .) B = (- 1,1) = {x \in R | - 1 < x < 1}

b .) B = {x \in R | \frac{1}{x} < 1}

c .) B = Q + = {x \in R | x \in Q \land x > 0}

a .)

es gibt Infimum

= - 1

und Supremum

= 1

von

B

Beweis Supremum:

1 .) 1

ist obere Schranke denn per Def.

\forall x \in B < 1

2 .) 1

ist kleinste ober Schranke denn:

1 > \frac{y + 1}{2} > y

für alle

y \in B

\Rightarrow

somit alle

y \in B < 1 \Rightarrow

da unendlich viele

y

ex. kein Maximum und 1 klienste obere Schranke.

Beweis Infimum: analog zu Beweis Supremum

zu

b .) B = {x \in R | \frac{1}{x} < 1} \Leftrightarrow B = {x \in R | 1 < x}

es gibt nur ein Infimum

= 1,

Beweis analog zu Aufgabe

a

.

zu

c .)

hier bin ich unsicher weil ich nicht weiss ob diese Definition, dass

x \in R

und

x \in Q

EInfluss auf das Ergebnis nimmt.

Mein Versuch:

1 .) 0

ist untere Schranke per Definition.

2 .) 0

ist auch kleinste untere Schranke weil:

wir wählen

x \in Q +

und

x = \frac{1}{n} \land n \in N

wir wählen

b = \frac{0 + x}{2}

\Rightarrow x > b > 0

für alle

x \Rightarrow x

wird nie untere Schranke

\Rightarrow 0

kleinste untere Schranke.

für Korrektur bin ich dankbar.
Grüße nilpferd

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

14:49 Uhr, 20.11.2014

Du machst richtige Sachen, schreibst aber zum Teil falsche Worte dazu.

Z.B.
"

1 > (y + 1) / 2 > y

für alle

y \in B

⇒ somit alle

y \in B < 1

⇒ da unendlich viele

y

ex. kein Maximum und

1

klienste obere Schranke."

Erste Folgerung: "⇒ somit alle

y \in B < 1

" - das ist keine Folgerung, denn dass

y < 1

, das wusstest Du schon vom Anfang an, dafür muss man nicht

1 > y + 1 / 2 > y

schreiben.
Zwei Folgerung: "⇒ da unendlich viele

y

ex. kein Maximum" - das ist wiederum keine Folgerung, denn unendlich viele

y

hat man in einem Intervall ja immer. Und warum daraus folgen soll, dass es kein Maximum existiert? Ne, das ist wieder eine falsche Begründung.

So könnte man sauber argumentieren:
a) für alle

y

aus

B

gilt

y < 1

1

ist eine obere Schranke =>

sup_{B} y \leq 1

b) nehmen an, dass

sup_{B} < 1

. Dann gibt's ein

z > 0

zwischen

sup_{B} y

und

1

sup_{B} y < z < 1

. Aber

z

liegt in

B

, weil

z \in (0, 1)

liegt. Damit kann

z > sup_{B} y

nicht sein. Diese Widerspruch zeigt, dass

sup_{B} y \geq 1

.
a) und b) zusammen bedeuten

sup_{B} y = 1

nilpferd3 aktiv_icon

16:05 Uhr, 20.11.2014

Hallo, Danke für die Antwort.

100 %

verstehe ichs leider noch nicht..
also bei

a .)

was genau meinst du mit Sup

B y \leq 1

?
das

y

bezieht sich ja auf ein Element aus

(- 1,1)

?
Meinst du damit dass man zunächst mal annimmt, dass das Supremum in der Menge liegt?
Ich mutmaße, aber ich versteh es nicht.

DrBoogie aktiv_icon

16:09 Uhr, 20.11.2014

Sorry,

y

ist überflüssig.

sup_{B} y

ist einfach als

sup (B)

zu lesen. Oder, wenn man ganz korrekt sein will,

sup {y : y \in B}

nilpferd3 aktiv_icon

16:20 Uhr, 20.11.2014

ok,
mit anderen Worten, egal welches

y \in B

ich wähle, es gibt immer eine Zahl zwischen

y

und 1. womit

y

nicht mehr ober Schranke sein kann.

\Rightarrow

obere Schranke muss

\geq 1

sein
und wegen a kleinste obere Schranke

= 1

so versteh ich es jetzt.. macht auch Sinn für mich.

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