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Supremum und Infimum, Minimum und Maximum v Menge

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Gebrochenrationale Funktion, Grenzwert, Infimum, lim, Maximum, Minimum, Supremum

Mipoli aktiv_icon

15:04 Uhr, 11.05.2019

Hallo, ich habe eine Menge

M (x) = {{(\frac{5 x - 1}{x^{2} + 5})}^{2 n + 1} : n \in ℕ}

.

Ich soll für jedes

x

bestimmen, ob

M (x)

noch oben oder unten beschränkt ist (ist es nicht?) und dann ggf. Suprememum bzw. Infimum und Maximum und Minimum bestimmen.

Von einem Tutor haben wir den Tipp bekommen die Nullstellen zu bestimmen und die folgende Formel zu benutzen:

| z | < 1 : lim_{n \to \infty} (z^{n}) = 0

.

Die Nullstelle habe ich bestimmt, sie liegt (unabhängig von

n)

bei

\frac{1}{5}

. Ich weiß aber leider nicht, was mir die Nullstelle nun bringen soll.

| z |

ist nicht

< 1,

da ich

2 x 2

Schnittstellen mit meinem Graphen bekomme.

Aber ich kann ja daraus, dass der limes für

n \to \infty

nicht nach 0 geht nichts folgern, oder?

lim_{x \to \pm \infty} {(\frac{5 x - 1}{x^{2} + 5})}^{2 n + 1} = 0,

glaube ich.

Ich denke, dass ich keine Supremum oder Infimum habe, da sich die der tiefste Punkt der Funktion immer weiter nach unten bewegt wenn

n

wächst und der höchste immer weiter nach oben. Aber wie berechne ich das? Also eigentlich ist es ja logisch, da ich die Potenz ja auch auf beide Brüche einzeln anwenden dann, aber leider kann ich noch nicht mal meinen Hoch- oder Tiefpunkt für

n = 0

berechnen (der aber ja sowieso nicht für die ganze Funktion gelten würde. Vielleicht ist das also sinnlos).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Atlantik aktiv_icon

19:35 Uhr, 11.05.2019

"aber leider kann ich noch nicht mal meinen Hoch- oder Tiefpunkt für

n = 0

berechnen"

f_{n} (x) = {(\frac{5 x - 1}{x^{2} + 5})}^{2 n + 1}

f_{0} (x) = \frac{5 x - 1}{x^{2} + 5}

[f_{0} (x)]

= \frac{5 \cdot (x^{2} + 5) - (5 x - 1) \cdot 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}} = \frac{5 \cdot x^{2} + 25 - 10 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}} = \frac{- 5 x^{2} + 2 x + 25}{{(x^{2} + 5)}^{2}}

\frac{- 5 x^{2} + 2 x + 25}{{(x^{2} + 5)}^{2}} = 0

5 x^{2} - 2 x - 25 = 0

x^{2} - \frac{2}{5} x = 5

{(x - \frac{1}{5})}^{2} = 5 + \frac{1}{25} = \frac{126}{25}

x_{1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{126} \approx 2,445

x_{2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \sqrt{126} \approx - 2,045

[f_{0} (x)]

´´=

\frac{(- 10 x + 2) \cdot {(x^{2} + 5)}^{2} - (- 5 x^{2} + 2 x + 25) \cdot 2 (x^{2} + 5) \cdot 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{4}} =

= \frac{(- 10 x + 2) \cdot (x^{2} + 5) - (- 5 x^{2} + 2 x + 25) \cdot 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}

[f_{0} (2,445)]

´´ = . ..

[f_{0} (- 2,045)

]

´´

= . .

.

Ist der ausgerechnete Wert nun

> 0

so liegt ein Minimum vor. Andernfalls ist an der Stelle ein Maximum.

Weiter ist zu bemerken, dass

f_{n} (x)

immer ungerade Hochzahlen hat.

mfG

Atlantik

Mipoli aktiv_icon

20:12 Uhr, 11.05.2019

Ok, danke. Ich hatte gerade dank Google-Recherche schon die Ableitung berechnet. Trotzdem danke fürs vorrechnen :-).

Dann hab ich also meine Hoch- und Tiefpunkte für f(x)=((5x-1)/(x²+5)).
Doch was bringt mir das. Diese Hoch- und Tiefpunkte verändern sich ja, wenn ich für

n

etwas anderes einsetze als

0,

sie werden extremer.

D . h

. diese Punkte können nicht das Supremum bzw. Infimum der gesamten Menge sein.

Mir ist auch aufgefallen, dass ich nur ungerade Exponenten habe. Bedeuted dass, ich kann mir die ganze Funktion vorstellen wie eine Monomfunktion mit ungeradem Exponenten also

x^{2 n + 1},

nur das

x

hier eben durch einen komplizierteren Ausdruck ersetzt ist? Und dieser kompliziertere Ausdruck bestimmt dann eben die Hoch- und Tiefpunkte, aber durch den ungeraden Exponenten ist festgelegt, dass die "Richtung" der Funktion immer die gleiche bleibt, also Hochpunkt Hochpunkt bleibt und Tiefpunkt Tiefpunkt?

Ich würde ja sagen, dass ich kein Supremum bzw. Infimum habe, eben weil der Hoch- und Tiefpunkt bei größerem

n

noch extremer werden können. Stimmt das so? Und wie kann ich das mathematisch zeigen? Einfach indem ich für

n = 0

und

z . B

. für

n = 1

die Ableitungen berechne?

Und noch eine Frage: Es heißt, ich soll "für jedes x" bestimmen ob

M (x)

nach oben bzw. unten beschränkt ist und dann ggf. Supremum und Infimum berechnen. Ich verstehe nicht genau, was mit diesem "für jedes x" gemeint ist.

Evtl. könnte ich die Formel

| z | < 1 : lim_{n \to \infty} (z^{n}) = 0

hier benutzen und sagen:
für

x \in (- \infty, - 4) :

lim_(n->-oo)((5x-1)/(x²+5))^(2n+1)=0
für

x \in [- 4, - 1] :

keine untere Schranke
für

x \in (- 1, 0,2) :

lim_(n->oo)((5x-1)/(x²+5))^(2n+1)=0
für

x = 0,2

ist die Funktion 0.
für

x \in (0,2, 2) :

lim_(n->oo)((5x-1)/(x²+5))^(2n+1)=0
für

x \in (2, 3) :

keine Schranke
für

x \in (3, \infty) :

lim_(n->oo)((5x-1)/(x²+5))^(2n+1)=0

Ich bin mir aber nicht sicher, ob das alles so mathematisch korrekt ist... Es ist ja kein Beweis. Der limes wäre dann logischerweise nur eine obere bzw. untere Schranke und nicht das Maximum oder Minimum, da er ja nie erreicht wird. Aber kann ich das einfach so sagen?

Atlantik aktiv_icon

16:15 Uhr, 12.05.2019

f_{n} (x) = {(\frac{5 x - 1}{x^{2} + 5})}^{2 n + 1} = \frac{{(5 x - 1)}^{2 n + 1}}{{(x^{2} + 5)}^{2 n + 1}}

[\frac{{(5 x - 1)}^{2 n + 1}}{{(x^{2} + 5)}^{2 n + 1}}]

= \frac{(2 n + 1) \cdot {(5 x - 1)}^{2 n} \cdot 5 \cdot {(x^{2} + 5)}^{2 n + 1} - {(5 x - 1)}^{2 n + 1} \cdot (2 n + 1) \cdot {(x^{2} + 5)}^{2 n} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot (2 n + 1)}} =

= \frac{(2 n + 1) \cdot {(5 x - 1)}^{2 n} \cdot 5 \cdot {(x^{2} + 5)}^{2 n} \cdot (x^{2} + 5) - {(5 x - 1)}^{2 n + 1} \cdot (2 n + 1) \cdot {(x^{2} + 5)}^{2 n} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{(4 n + 2)}} =

= \frac{(2 n + 1) \cdot {(5 x - 1)}^{2 n} \cdot 5 \cdot {(x^{2} + 5)}^{2 n} \cdot (x^{2} + 5) - {(5 x - 1)}^{2 n + 1} \cdot (2 n + 1) \cdot {(x^{2} + 5)}^{2 n} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{4 n} \cdot {(x^{2} + 5)}^{2}} =

= \frac{(2 n + 1) \cdot {(5 x - 1)}^{2 n} \cdot 5 \cdot (x^{2} + 5) - {(5 x - 1)}^{2 n + 1} \cdot (2 n + 1) \cdot 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2 n} \cdot {(x^{2} + 5)}^{2}} =

= \frac{(2 n + 1) \cdot [{(5 x - 1)}^{2 n} \cdot 5 \cdot (x^{2} + 5) - {(5 x - 1)}^{2 n + 1} \cdot 2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2 n} \cdot {(x^{2} + 5)}^{2}}

\frac{(2 n + 1) \cdot [{(5 x - 1)}^{2 n} \cdot 5 \cdot (x^{2} + 5) - {(5 x - 1)}^{2 n + 1} \cdot 2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2 n} \cdot {(x^{2} + 5)}^{2}} = 0

{(5 x - 1)}^{2 n} \cdot 5 \cdot (x^{2} + 5) - {(5 x - 1)}^{2 n} \cdot (5 x - 1) \cdot 2 x = 0

{(5 x - 1)}^{2 n} [5 \cdot (x^{2} + 5) - (5 x - 1) \cdot 2 x] = 0

{(5 x - 1)}^{2 n} [5 \cdot x^{2} + 25 - 10 x^{2} + 2 x] = 0

{(5 x - 1)}^{2 n} [- 5 \cdot x^{2} + 25 + 2 x] = 0

1 .) {(5 x - 1)}^{2 n} = 0

x = \frac{1}{5}

ist schon Nullstelle , überprüfen mit

f

´ ´(

\frac{1}{5})

- 5 \cdot x^{2} + 25 + 2 x = 0

x_{1} = \frac{1}{5} - \frac{3}{5} \cdot \sqrt{14}

x_{2} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \cdot \sqrt{14}

Nun mit der 2. Ableitung die 3. x-Werte überprüfen.

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

ermanus aktiv_icon

16:35 Uhr, 12.05.2019

Hallo,
warum betrachtest du nicht den Ausdruck

z = \frac{5 x - 1}{x^{2} + 5}

und untersuchst die Fälle

∣ z ∣ < 1

∣ z ∣ = 1

und

∣ z ∣ > 1

,
so wie man dir geraten hat ?
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

17:07 Uhr, 12.05.2019

Hier noch der Graph von

z

.
Das ist die rote Linie von Atlantiks Graphik.
Nur die braucht man ...

Mipoli aktiv_icon

17:14 Uhr, 12.05.2019

@ ermanus: Das hab ich doch betrachtet, sonst wäre ich ja nicht auf die Werte in meinem letzten Beitrag gekommen:

für x∈(-∞,-4): lim_(n->-oo)((5x-1)/(x²+5))^(2n+1)=0
für x∈

[

-4,-1]: keine untere Schranke
für x∈(-1,0,2): lim_(n->oo)((5x-1)/(x²+5))^(2n+1)=0
für

x = 0,2

ist die Funktion 0.
für x∈(0,2,2): lim_(n->oo)((5x-1)/(x²+5))^(2n+1)=0
für x∈(2,3): keine Schranke
für x∈(3,∞): lim_(n->oo)((5x-1)/(x²+5))^(2n+1)=0

Oder meinst du etwas anderes?

ermanus aktiv_icon

17:27 Uhr, 12.05.2019

Oh, ich muss mich entschuldigen, ich habe da wohl nicht genau hingeguckt :(
Dafür hier nun ein paar Korrekturen:
für

x \in (- \infty, - 4) :

lim = 0

, beschränkt und zwar mit

sup M (x) = 0

und

inf M (x) = z (x)

für

x = - 4

ist

M (x) = {- 1}

, also beschränkt mit

sup = inf = - 1

für

x \in (- 4, - 1)

keine untere Schranke
für

x = - 1

ist

M (x) = {- 1}

, also beschränkt mit

sup = inf = - 1

,
usw. ...

Das sind nur kleine Korrekturen, im Wesentlichen hast du es richtig gemacht :-)
Gruß ermanus

Mipoli aktiv_icon

17:43 Uhr, 12.05.2019

Ok, vielen Dank!

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