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Trigonometrische Substitution

Universität / Fachhochschule

Tags: Integral, Integralrechnung, Substitution

TestAccount1245 aktiv_icon

12:55 Uhr, 24.03.2016

Hallo!

Kann mir bitte jemand die "trigonometrische Substitution" erklären?

Folgendes Beispiel:
Berechnen Sie mittels trigonometrischer Substitution x = 2 tan u:

\int_{}^{} \frac{d x}{x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}} d x

In meinen Büchern find ich gleich gar nichts über dieses Thema. Und die Beiträge aus dem Internet helfen mir auch grad nicht weiter.

Ich danke euch schon mal!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

13:05 Uhr, 24.03.2016

.
" .. gar nichts über dieses Thema ..."

\to

echt? ..

1) \to

weisst du wie "Substitution" funktionniert?

2) \to

hast du eine Formelsammlung? kannst du dort sebstständig die nötigen
trigonometrischen Formeln finden ? .. wie zB

\to 1 + {tan}^{2} u = \frac{1}{{cos}^{2} u}

zweimal ja ? ..

\to

dann fang doch mal an mit der Umschreibung des Integrals auf die neue Variable

u

\to .

.

und ganz nebenbei:

\to e i n

Differential

\to d x . .

. genügt bei deinem geg.Integral

! . .

.
.

Respon

14:41 Uhr, 24.03.2016

Du kennst sicher folgende Regel:

{[\sqrt{f (x)}]}^{'} = \frac{f' (x)}{2 \cdot \sqrt{f (x)}}

Um diese Form zu erreichen, kann man den Integranden umformen.

\frac{1}{x^{2} \cdot \sqrt{4 + x^{2}}} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}

Zähler und Nenner durch

x

\Rightarrow

= \frac{\frac{1}{x^{3}}}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4}}};

wegen

{[\frac{1}{x^{2}}]}^{'} = \frac{- 2}{x^{3}} \Rightarrow \frac{\frac{1}{x^{3}}}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4}}} = \frac{\frac{- 2}{x^{3}}}{(- 2) \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4}}}

Jetzt läßt sich die obiger Regel anwenden:

\int \frac{1}{x^{2} \cdot \sqrt{4 + x^{2}}} d x = \int \frac{\frac{- 2}{x^{3}}}{(- 2) \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4}}} d x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4}}

(+ C)

( Das Ergebnis läßt sich noch etwas "verschönern".)

rundblick aktiv_icon

15:03 Uhr, 24.03.2016

.
@ Respon :

- ganz schön fleissig .. und sogar richtig - aber voll am Thema vorbei :

- denn der untergetauchte Fragesteller hatte als Vorgabe :
" Berechnen Sie mittels trigonometrischer Substitution

x = 2 tan u :

"

ach ja .. und leider schleichst du immer noch heimlich und unsichtbar hier herum
schade..und irgendwie fies, das Versteckspiel..

.

TestAccount1245 aktiv_icon

22:23 Uhr, 30.03.2016

Hallo!

Ich war leider dazwischen krank.

Ich hab das jetzt mal probiert zu rechnen. Und soweit bin ich gekommen.
Nur komme ich jetzt nicht ganz weiter...

Respon

22:49 Uhr, 30.03.2016

x = 2 \cdot tan (u)

d x = \frac{2}{{cos}^{2} (u)}

\int \frac{d x}{x^{2} \cdot \sqrt{4 + x^{2}}} = \int \frac{2}{4 \cdot {tan}^{2} (u) \cdot \sqrt{4 + 4 \cdot {tan}^{2} (u)} \cdot {cos}^{2} (u)}

= \int \frac{2 \cdot {cos}^{2} (u) \cdot cos (u)}{4 \cdot {cos}^{2} (u) \cdot {sin}^{2} (u) \cdot 2}

= \int \frac{cos (u)}{4 \cdot {sin}^{2} (u)} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{sin (u)}

. .

. und Resubstitution

u =

atan

(\frac{x}{2})

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