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Uneigentliches Integral

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Grenzwerte

Integration

Tags: Grenzwert, Integration

student11 aktiv_icon

11:14 Uhr, 16.06.2012

Hallo zusammen

Habe gerade eine Aufgabe gelöst und hatte schon Freude, dass es so gut geklappt hat, bis ich das Resultat mit WolframAlpha abglich:

Es geht um ein uneigentliches Integral:

\int_{0}^{\infty} (\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}) d x

Hier
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2F%28x-2%29%5E2+%2C+x%2C+0+%2C+oo
als divergent bezeichnet..

Doch folgende Berechnung vo mir führt eigentlich zum Wert

- \frac{1}{2},

wo liegt mein Fehler?

\int_{0}^{e} (\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}) d x = \frac{1}{2 - e} - \frac{1}{2}

\frac{1}{2 - e} - \frac{1}{2} = \frac{2 - (2 - e)}{(2 - e) \cdot 2} = \frac{e}{4 - 2 e} \to - \frac{1}{2}

Wo liegt mein Fehler?

Vielen Dank für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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rundblick aktiv_icon

11:31 Uhr, 16.06.2012

das Problem liegt nicht bei den Grenzen 0 und "oo"

sondern bei einer Stelle im Innern dieses Intervalls

. .

.

denk mal darüber nach (notfalls Bildchen malen) - dann
wirst du vielleicht Verständnis für den schlauen wolfram haben ?

student11 aktiv_icon

11:38 Uhr, 16.06.2012

Oh natürlich..

Was habe ich auch überlegt? :-D)

Also dann hätten wir eine Definitionslücke bei

x = 2,

also muss das Integral aufgespalten werden:

\int_{0}^{a} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{a}^{b} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x

mit

a \to 2

und

b \to \infty

Dann ist

\int_{0}^{a} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x = \frac{1}{2 - a} - \frac{1}{2}

mit

a \to 2, a < 2

divergent..

Weiter ist

\int_{a}^{b} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x = \frac{1}{a - 2} - \frac{1}{b - 2},

was wiederum divergent ist..

Somit kann dieses Integral nicht konvergieren..

Habe aber da trotzdem noch schnell eine Frage:
Hier handelt es sich ja um eine Polstelle bei

x = 2,

kann eine Funktion, die eine Polstelle hat, da nie ein endliches Integral besitzen, also dass sich das irgendwie wieder wegkürzt oder was weiss ich? Nur bei Sprungstellen kann ich problemlos integrieren, da ein einziger Punkt eh nichts zur Sache tut?

student11 aktiv_icon

11:43 Uhr, 16.06.2012

Ich muss also immer wenn ich integriere zuerst schauen, wo es Definitionslücken hat.. Ich teile das Integral dann entsprechend in Teilgebiete auf und schaue jeweils den Grenzwert an..

Also hier hatten wir den Fall

\infty + \infty - \frac{1}{2}

oder so ähnlich..

Wie ist es denn in Fällen wie:

\infty - \infty :

Könnte sich nicht theoretisch das

\infty

mit

- \infty

streichen und das bestimmte Integral würde trotzdem existieren?

pleindespoir aktiv_icon

11:44 Uhr, 16.06.2012

lim_{t \to 2} \int_{t}^{\infty} \frac{1}{(x - 2)^{2}} d x

könnte eventuell ein Ansatz sein, um zu einem endlichen Wert zu kommen?

student11 aktiv_icon

11:46 Uhr, 16.06.2012

pleindespoir.. Dieses Integral existiert doch aber auch nicht, oder?

pleindespoir aktiv_icon

11:51 Uhr, 16.06.2012

existieren tut es ... nur hat es wohl auch "keinen Wert" sozusagen ...

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