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Nicht eindeutige Stammfunktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Eindeutigkeit, Integration, Stammfunktion

IoanaSakuray aktiv_icon

23:17 Uhr, 20.02.2024

Hey liebe Mit-Mathe Enthusiasten,

Meines Wissens (und da gerne korrigieren) - ist die Stammfunktion

F

einer Funktion

f

bis auf die Konstante

C

eindeutig.

Durch eine Nachhilfeschülerin bin ich auf folgendes Stammfunktionen Rätsel gestoßen:

Laut ihrem Buch ist die Stammfunktion der Funktion

f (x) = \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} : F (x) = \frac{2 x}{2 x + 1}

. Ich bin durch Rechnung auf

F (x) = - \frac{1}{2 x + 1}

gekommen.
Beide Funktionen liefern abgeleitet die Funktion

f (x) -

jedoch sind sie offentlichlich nicht gleich :-D)

Übersehe ich etwas?
Würde sehr gerne verstehen wie das möglich ist.

Danke euch im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

IoanaSakuray aktiv_icon

23:26 Uhr, 20.02.2024

ok habe meine frage selbst beantwortet :-D)

\frac{2 x}{2 x + 1}

polynomdividiert liefert

1 - \frac{1}{2 x + 1}

. Damit ist 1 einfach die Konstante

C

die abgeleitet wegfällt.

Ich lasse die frage trotzdem mal stehen für die Zukunft :-D)

HAL9000

10:56 Uhr, 21.02.2024

> Meines Wissens (und da gerne korrigieren) - ist die Stammfunktion

F

einer Funktion

f

bis auf die Konstante

C

eindeutig.

Auch das stimmt nur bei einer "zusammenhängenden" Definitionsmenge. Nehmen wir gleich mal dein Beispiel:

f (x) = \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}

ist ja nicht auf ganz

ℝ

definiert, sondern nur auf

D_{f} = ℝ \ {- \frac{1}{2}}

. Das ist durch die Lücke

- \frac{1}{2}

keine zusammenhängende Definitionsmenge, man kann auch schreiben

D_{f} = (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)

.

Jetzt definiere ich die durch zwei (!) beliebig wählbare Konstanten

C_{1}, C_{2} \in ℝ

parametrierbare Funktion

F (x) = {\begin{array}{ll} C_{1} - \frac{1}{2 x + 1} & für x < - \frac{1}{2} \\ C_{2} - \frac{1}{2 x + 1} & für x > - \frac{1}{2} \end{array}

.

Dann ist

F ´ (x) = f (x)

für alle

x \in D_{f}

, womit

F

der Definition einer Stammfunktion von

f

genügt.

Aber für zwei aus dieser Schar ausgewählte Stammfunktionen

F_{1}, F_{2}

gilt i.a. nicht, dass sie sich auf ganz

D_{f}

nur um eine Konstante unterscheiden, d.h., dass es ein

C \in ℝ

gibt mit

F_{2} (x) = F_{1} (x) + C

für alle

x \in D_{f}

. :-)

P.S.: Bei allgemeiner, d.h. ggfs. auch nicht zusammenhängender Definitionsmenge kann man allenfalls sagen, dass die Differenz

F_{2} (x) - F_{1} (x)

eine lokal konstante Funktion

D_{f} \to ℝ

sein muss:

de.wikipedia.org/wiki/Lokal_konstante_Funktion

1582735

1582722

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