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Ungerade Integriebar Stammfunktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Integrierbarkeit, Stammfunktion, Ungerade Funktion

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Hoppichler

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15:04 Uhr, 19.12.2016

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Hallo kann mir bitte jemand helfen:

Sei

f : R \to R

ungerade und integrierbar. Dann ist

F (x) = \int_{- x}^{x} f (t) d t

eine Stammfunktion von

f

.

Ist die Aussage wahr oder falsch? Falls falsch habt ihr ein Gegenbeispiel?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

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Hoppichler

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15:27 Uhr, 19.12.2016

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Also ich hab mir etwas gebastelt:

Bei ungeraden Funktion ist

f (x) = - f (- x)

F (x) = \int_{- x}^{x} f (t) d t = F (x) - F (- x) = \int_{- x}^{x} - f (- t) d t = - F (- x) + F (x)

\to F (x) = - F (- x)

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Edddi

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15:38 Uhr, 19.12.2016

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.. deine letzte Umformung ist nicht korrekt. Diese müsste

F (x) = F (- x)

lauten.

Ich würd' so rangehen:

\int_{- x}^{x} f (t) d t = \int_{- x}^{0} f (t) d t + \int_{0}^{x} f (t) d t

= - \int_{0}^{- x} f (t) d t + \int_{0}^{x} f (t) d t

= - \int_{0}^{x} f (- t) d t + \int_{0}^{x} f (t) d t

= \int_{0}^{x} f (t) d t + \int_{0}^{x} f (t) d t

= 2 \cdot \int_{0}^{x} f (t) d t = 2 \cdot F (t)

Beispiel: mit

f (t) = t^{2}

ist

\int_{- x}^{x} t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} |_{- x}^{x} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{{(- x)}^{3}}{3} = \frac{2}{3} x^{3}

;-)

Hoppichler

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16:11 Uhr, 19.12.2016

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Hey Eddi
danke für die schnelle Antwort

Ist der Ansatz richtig?

\int_{- x}^{x} f (t) d t = \int_{0}^{x} f (t) d t + \int_{- x}^{0} f (t) d t

= \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{- x} f (t) d t

= \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{- x} - f (- t) d t

= \int_{0}^{x} f (t) d t + \int_{0}^{- x} f (- t) d t

= \int_{0}^{x} f (t) d t + \int_{0}^{x} f (t) d t

= 2 \cdot (F (x) - F (0))

mit

F (0) = 0

da

f (t)

ungerade ?

= 2 \cdot F (x)

somit ist die Aussage

F (x) = \int_{- x}^{x} f (t) d t

falsch?

LG

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Edddi

Edddi aktiv_icon

17:39 Uhr, 19.12.2016

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. .

. so hab' ich's auch. Es kommt also

2 F (x)

raus. Somit wäre die Aussage falsch - was sich ja auch an meinem Beispiel zeigt.

Raus kommt also

2 \cdot (F (x) - F (0)) = 2 F (x) + 2 F (0) = 2 F (x) + C

F (0) = 0

muss ja nicht sein - aber ist auf jeden Fall konstant.

das "ungerade" benötigt man ja nur für die Umformung der Integrale

(\in

deinen Zwischenschritten)

;-)

Hoppichler

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17:43 Uhr, 19.12.2016

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Danke :-)

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