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Ungleichung durch volls. Induktion (Fakultät,n^n)

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionentheorie, Grenzwert, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Vollständige Induktion Ungleichung

Maxi-1997 aktiv_icon

19:42 Uhr, 04.05.2018

hey Leute.

Ich hänge seit gut einer Stunde bei einer Aufgabe fest und ich hoffe, mir kann jemand helfen...

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass für alle

n

∈

N

ohne

{0}

die folgende Ungleichung gilt:

{(n!)}^{2}

≥

n^{n}

Hinweis: Es gilt für alle

n

∈

N

ohne

{0},

dass

{(1 + 1 : n)}^{n} < 3

.

Ich habe mir dabei überlegt, die Ungleichung durch vollständige Induktion zu beweisen. In der Aufgabe steht es zwar nicht drin, dass ich die Ungleichung mit vollst. Induktion zeigen soll, aber mir fällt sonst keine andere Beweismethode ein...

Mein Lösungsweg ist folgender:

Induktionsanfang: Sei

n = 1

{(1!)}^{2} = 1 = 1^{1}

Also ist die Behauptung für ein

n

gezeigt.

Induktionsschritt:

{(n!)}^{2}

≥

n^{n}

\Rightarrow {((n + 1)!)}^{2}

≥

{(n + 1)}^{n + 1}

{((n + 1)!)}^{2} = {(n + 1)}^{2} \cdot {(n!)}^{2} |

Annahme einsetzen

≥

{(n + 1)}^{2} \cdot n^{n} |

Annahme einsetzen

≥

{(n + 1)}^{n + 1} \cdot n^{n}

Und somit ist der linke Term ≥ als der rechte Term.

Darf ich das so beweisen? Also, darf ich die Annahme

{((n + 1)!)}^{2}

≥

{(n + 1)}^{n + 1}

verwenden? Oder ist das beim Beweis verboten ?

Ich habe beim Beweis nicht den Hinweis in der Aufgabenstellung verwendet, was mich zu dem Gedanken verleitet, die Ungleichung auf einer anderen Weise beweisen zu müssen... Aber wenn das so ist, dann weiß ich überhaupt nicht wie...

Kann mir da jemand helfen?
Freue mich auf eure Ideen und Hilfe!

Mfg
Max

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