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Ungleichung (n!)^2 ≥ n^n beweisen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert, Komplexe Zahlen, Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

infoxxg aktiv_icon

16:18 Uhr, 05.05.2018

Hey, Leute!

Ich habe Schwierigkeiten bzw. Zweifel, wie man die Aufgabe lösen soll. Ich hoffe, mir kann da jemand helfen.

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass für alle

n

∈

N

ohne

{0}

die folgende Ungleichung gilt:

(n!) 2

≥

n^{n}

Hinweis: Es gilt für alle

n

∈

N

ohne

{0},

dass

{(1 + 1 : n)}^{n} < 3

.

Ich habe mir dabei überlegt, die Ungleichung durch vollständige Induktion zu beweisen. In der Aufgabe steht es zwar nicht drin, dass ich die Ungleichung mit vollst. Induktion zeigen soll, aber mir fällt sonst keine andere Beweismethode ein...

Mein Lösungsweg ist folgender:

Induktionsanfang: Sei

n = 1

{(1!)}^{2} = 1 = 1^{1} = 1

Also ist die Behauptung für ein

n

gezeigt.

Induktionsschritt:

{(n!)}^{2}

≥

n^{n}

⇒((n+1)!)^2 ≥

{(n + 1)}^{n + 1}

((n+1)!)^2=(n+1)^2⋅(n!)^2∣∣ Annahme einsetzen

≥ (n+1)2⋅n^n∣∣ Annahme einsetzen

≥

{(n + 1)}^{n + 1} \cdot n^{n}

Und somit ist der linke Term ≥ als der rechte Term.

Darf ich das so beweisen? Also, darf ich die Annahme

{((n + 1)!)}^{2}

≥

{(n + 1)}^{n + 1}

verwenden? Oder ist das beim Beweis verboten ?

Ich habe beim Beweis nicht den Hinweis in der Aufgabenstellung verwendet, was mich zu dem Gedanken verleitet, die Ungleichung auf einer anderen Weise beweisen zu müssen... Aber wenn das so ist, dann weiß ich überhaupt nicht wie...

Kann mir da jemand helfen?
Freue mich auf eure Ideen und Hilfe!

LG
Felix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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anonymous

17:06 Uhr, 05.05.2018

Hallo infoxxg
Ich nehme an, mit "Induktionsschritt" meinst du den 2. Induktionsschritt.

Du sprichst zweimal von "Annahme einsetzen".
Ehrlich gesagt, mindestens ich kann dabei deinen Gedankengängen nicht wirklich folgen.

Ich habe zwar auch so angesetzt und mir auf diesem Weg
(auch ohne diesen

3 > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

-Hinweis)
bewiesen. Das war aber doch ein wenig umfangreicher, als dein sehr verdächtig kurzer Weg.

"Darf ich das so beweisen?"
Nun, ich bezweifle einfach, dass du schon bewiesen hast.
Wie gesagt, ich will nicht ausschließen, dass du bewiesen hast. Es ist nur mindestens mir unverständlich und damit -ich wage zu behaupten- sehr wahrscheinlich kein Beweis.

Vielleicht versuchst du nochmals deine Gedanken besser zu sammeln und verständlich zu machen.
Vielleicht kommen wir ja auf dem Weg besser zusammen.

infoxxg aktiv_icon

17:52 Uhr, 05.05.2018

Danke für die schnelle Antwort!
Hast du das etwa auch durch vollständige Induktion bewiesen?

Ja ich weiß, dass mir "Beweis" fehlerhaft. Ich darf glaube ich, die Annahme nicht

2 x

einsetzen.

Dann kehre ich zum Induktionsschritt zurück:

Induktionsschritt:

{(n!)}^{2}

≥

n^{n}

⇒

{((n + 1)!)}^{2}

≥

{(n + 1)}^{n + 1}

{((n + 1)!)}^{2} = {(n + 1)}^{2}

⋅

{(n!)}^{2}

∣ Annahme einsetzen

≥

{(n + 1)}^{2}

⋅

n^{n}

So weit stimmst du mir doch zu, oder??

Wenn ich aber nicht die zweite Annahme einsetzen darf, dann weiß ich nicht, wie ich das so umschreiben soll, dass man sehen kann, dass die linke Seite größer gleich die rechte Seite ist.

Kannst du mir bei diesem Punkt helfen???

Lg
Felix

Roman-22

18:46 Uhr, 05.05.2018

\to

www.onlinemathe.de/forum/Ungleichung-durch-volls-Induktion-Fakultaetnn

Maxi-1997 aktiv_icon

18:55 Uhr, 05.05.2018

Das ist mein Abgabepartner. Wir kommen beide nicht weiter

infoxxg aktiv_icon

20:28 Uhr, 05.05.2018

Kann mir irgend jemand noch helfen ??

anonymous

20:55 Uhr, 05.05.2018

Nach wie vor, was willst du eigentlich aussagen, wenn du sagst: "Annahme einsetzen"?
Ja, ich bin auch per vollständiger Induktion vorgegangen.

Also Ansatz, soweit sind wir uns einig:

{((n + 1)!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n + 1}

Das sollst du nun so weit vereinfachen oder zurückführen, dass es sich wieder mit der These

{(n!)}^{2} \geq n^{n}

begründen bzw. belegen lässt.

Ich fange jetzt mal für dich mit den einfachsten Schritten an:

{((n + 1) \cdot n!)}^{2} \geq (n + 1) \cdot {(n + 1)}^{n}

{(n + 1)}^{2} \cdot {(n!)}^{2} \geq (n + 1) \cdot {(n + 1)}^{n}

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n}

Tipp, binomische Reihenentwicklung:

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq n^{n} + n \cdot n^{n - 1} \cdot 1 + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \cdot n^{n - 2} \cdot 1^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) \cdot n^{n - 3} \cdot 1^{3} + . .

.

Meinst du, du kommst von hier aus alleine weiter?

anonymous

21:08 Uhr, 05.05.2018

Ah! Jetzt ist mir auch der Tipp mit diesem

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

klarer geworden.
Das ist eine andere, eine weitere Lösungsmöglichkeit.
Wir waren stehen geblieben bei:

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n}

Tipp:

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n} \cdot \frac{n^{n}}{n^{n}}

infoxxg aktiv_icon

21:20 Uhr, 05.05.2018

hey, danke für deine Rückmeldung. Die Entwicklungsreihe hatten wir noch nicht in der Vorlesung, deswegen bevorzuge ich den Hinweis in der Aufgabenstellung.

Heißt es nicht

(n + 1)

⋅

{(n!)}^{2}

≥

{(n + 1)}^{n + 1},

weil die Hochzahl beim Induktionnsschritt auch zu

(n + 1)

wird.
Ich kann dein Tipp leider nicht ganz deuten...

ich habe nur herausgefunden, dass

{(n + 1)}^{2}

⋅

{(n!)}^{2}

≥

{(n + 1)}^{n + 1} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} \cdot n^{n + 1}

ist...

Ich weiß aber trotzdem nicht, nicht wie diesen Hinweis nun verwenden soll... Kannst du es mir verraten?

Hast du dich bei der Hochzahl vertippt?Sonst bin ich durcheinander

\land

Lg
Felix

rundblick aktiv_icon

22:03 Uhr, 05.05.2018

.
Beim Schritt von

n

auf

(n + 1)

ist zu zeigen,
dass wenn

{(n!)}^{2} \geq n^{n}

richtig ist, dann folgt daraus,
dass dann auch

{((n + 1)!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n + 1}

wahr ..

also : sei nun

n \geq 2,

dann gilt

\to (n + 1) \geq 3 > {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = {(\frac{n + 1}{n})}^{n} . .

. (siehe oben,

17 : 06

Uhr,

05.05.2018)

also

\to (n + 1) > \frac{{(n + 1)}^{n}}{n^{n}}

\to n^{n} \cdot {(n + 1)}^{2} > {(n + 1)}^{n + 1} ... . . (

und jetzt

!) \to

wegen

{(n!)}^{2} \geq n^{n}

richtig

\Rightarrow

\to {(n!)}^{2} \cdot {(n + 1)}^{2} \geq n^{n} \cdot {(n + 1)}^{2} > {(n + 1)}^{n + 1}

\to {[(n!) \cdot (n + 1)]}^{2} \geq . .

> {(n + 1)}^{n + 1}

\to {[(n + 1)!]}^{2} > {(n + 1)}^{n + 1}

....qed

.

anonymous

22:07 Uhr, 05.05.2018

"Hast du dich bei der Hochzahl vertippt?"

Infoxxg, hast DU dich bei der Hochzahl vertippt?
Du hattest es doch noch

>

16 : 18 h

korrekt,

>

17 : 52 h

korrekt.
Nur jetzt um

21 : 20 h

bringst du irgendwie wieder alles durcheinander.

Wir hatten die These:

{(n!)}^{2} \geq n^{n}

Beim 2. Induktionsschritt müssen wir von

n

den Übergang zur nächsthöheren Zahl

(n + 1)

schaffen:

{((n + 1)!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n + 1}

infoxxg aktiv_icon

22:24 Uhr, 05.05.2018

hey, rundblick!

Warum setzt du n≥2 voraus? Weil ich die Ungleichung beim Induktionsanfang für

n = 1

schon bewiesen habe?

Ich verstehe die letzten 4 Zeilen nicht ganz...

Kannst du es bitte vielleicht noch ausführlicher machen? Ich glaube, ich bin einfach zu doof dafür.... Ich verliere ab da komplett die Orientierung. Tut mir leid, wenn ich damit störe...

Und jetzt an kreadoor:

Das war du mir vorgeschlagen hast, glaube ich oben schon geschrieben zu haben... Aber ich komm echt nicht weiter...Weiß einfach nicht, wie ich den Hinweis verwenden kann...

rundblick aktiv_icon

22:42 Uhr, 05.05.2018

.

"Warum setzt du n≥2 voraus?
Weil ich die Ungleichung beim Induktionsanfang für

n = 1

schon bewiesen habe? "

Ja

. .

.
Ein Induktionsbeweis wird in drei Schritten geführt

\to

1.Induktionsanfang : du zeigst direkt, dass die Beh. stimmt zB für

n = 1

oder

n = 2

\to

2.Induktionsschritt : der Schritt von

n

auf

(n + 1)

gelingt

\to

3.Induktionsschluss

. .

.

"Ich verstehe die letzten 4 Zeilen nicht ganz..."

\to

gib dir bitte etwas Mühe .. denn es sind alles jeweils einfache algebraische Schritte
die du (zB wenn du es dir mal langsam aufschreibst ) gewiss nachvollziehen und verstehen solltest.
wo ist konkret ein Problem?

.

anonymous

22:46 Uhr, 05.05.2018

Ich glaube, wir sprechen einfach aneinander vorbei.
Ich glaube, du verlierst einfach den Überblick.
Ich glaube, ich gehe in kleinen, überschaubar verständlichen Schritten Zeile für Zeile vor.
Ich kann ja nochmals jede Zeile durchnumerieren. Dann kannst du leichter verständlich machen, welchen Schritt du nicht verstehst:

Zeile

a)

{((n + 1)!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n + 1}

Zeile

b)

{((n + 1) \cdot n!)}^{2} \geq (n + 1) \cdot {(n + 1)}^{n}

Zeile

c)

{(n + 1)}^{2} \cdot {(n!)}^{2} \geq (n + 1) \cdot {(n + 1)}^{n}

Zeile

d)

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n}

Zeil

e)

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq {(n + 1)}^{n} \cdot \frac{n^{n}}{n^{n}}

Zeile

f)

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq \frac{{(n + 1)}^{n}}{n^{n}} \cdot n^{n}

Zeile

g)

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq {(\frac{n + 1}{n})}^{n} \cdot n^{n}

Zeile

h)

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \cdot n^{n}

Zeile

i)

(n + 1) \cdot {(n!)}^{2} \geq 3 \cdot n^{n} \geq {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \cdot n^{n}

infoxxg aktiv_icon

23:10 Uhr, 05.05.2018

Verstehe!

Du hast bei Zeile

c)

einfach durch

(n + 1)

geteilt, weshalb das

{(n + 1)}^{2}

auf der rechten Seite verschwindet

Aber ich verstehe nicht ganz die Zeile

i) . .

(n + 1)

⋅

{(n!)}^{2}

≥ 3 ⋅

(n^{n})

≥

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

⋅

n^{n}

Wenn

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} < 3,

dann ist doch nicht sicher gestellt, dass

(n + 1)

⋅

{(n!)}^{2}

≥ 3 ⋅

(n^{n}),

oder ?

Und wie würde das weitergehen ? Würde ich mit

(n + 1)

⋅

{(n!)}^{2}

≥ 3 ⋅

(n^{n})

machen? Wenn ja, dann

\Rightarrow (n + 1)

⋅

{(n!)}^{2} = (n + 1)

⋅

n^{2} \cdot {(n - 1)}^{2} \cdot ... \cdot

≥ 3 ⋅

(n^{n}),

oder ?

anonymous

00:26 Uhr, 06.05.2018

Da ich mir in diesem Editor ein wenig schwer tue, das didaktisch geschickt darzustellen, wechsle ich mal in Bilder:

infoxxg aktiv_icon

12:46 Uhr, 06.05.2018

Ahhh, jetzt verstehe ich das! Aber darauf wäre ich nicht gekommen...

Tut mir leid, dass ich so anstrengend war... Nun weiß Ich, wie ich solche Aufgaben angehen kann!

Danke an alle, die mir geholfen haben!

LG
Felix

1425225

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