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Vertauschen von Summe und Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Beweis, Integration, Summenzeichen

 
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charly14

charly14 aktiv_icon

14:54 Uhr, 21.05.2019

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Hallo,

mal wieder bin ich am verzweifeln:
Ich soll in einer Aufgabe zeigen, dass gilt:

∑n=1∞∫0∞xs-1e-nxdx=∫0∞xs-1∑n=1∞e-nxdx

für alle s∈ℂ mit Re(s)>1

Ich weiß nicht, wie ich da anfangen soll mit dem beweisen.

Kann jemand helfen?

Besten Dank


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

15:18 Uhr, 21.05.2019

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Sowohl Summation als auch Integration kann man als spezielle Maßintegrationen (mal Lebesgue- und mal Zählmaß) auffassen. Hinreichend für die Vertauschung der Integrationsreihenfolge gemäß Fubini ist z.B., dass das Integral über den BETRAG existiert.


Schauen wir uns das hier an: Mit s=a+ib und dabei vorausgesetztem a>1 ist

∣xs-1∣=∣exp(ln(x)⋅(a-1+ib))∣=exp(ln(x)⋅(a-1))=xa-1

und damit per Substitution t=nx

∫0∞xa-1e-nxdx=1na∫0∞ta-1e-tdt=Γ(a)na

∑n=1∞∫0∞xa-1e-nxdx=Γ(a)ζ(a),

und letzterer Wert ist im Fall a>1 endlich.
charly14

charly14 aktiv_icon

15:56 Uhr, 21.05.2019

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Wieso gilt

|exp (ln(x)⋅(a-1+i⋅b))|= exp (ln(x)⋅(a-1))?

Ich verstehe gerade nicht, warum das +i⋅b "rausfliegt"
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