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Volumen eines Bechers Berechnen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Drehkörper, Drehung, Integral, Integration, volum, x-Achse, y-Achse

KaiserKarl1887 aktiv_icon

18:33 Uhr, 16.01.2014

Der Hohlraum eines Bechers entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion

f

mit

f (x) = \sqrt{k \cdot (x + 1)}

um die 1. Achse zwischen

x = 0

und

x = 3

. Wähle

k

so, dass der obere Rand des Bechers den Radius

r = 6

hat (Angaben in cm).

1)

Wie groß ist das Volumen des Bechers?

2)

In den Becher werden

100

cm³ Wasser gegossen. Wie hoch steht das Wasser im Becher?

Mein Versuch

k = 9,

\sqrt{9 \cdot (3 + 1)} = 6

1) π \cdot \int {(\sqrt{9 \cdot x + 1})}^{2}

V = π \cdot \int 9 x + 1

V = π \cdot (\frac{9 x^{2}}{2} + x)

6 Einsetzen:

V = π \cdot 168

= 508,9380099

cm³, dass scheint mir jedoch ein wenig viel?

2) = \frac{100}{508,9380099} = 0,1964 .

. cm³

Ist das richtig? Wenn nicht, wie löse ich dieses Beispiel richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

22:28 Uhr, 16.01.2014

Bis

k = 9

ist es richtig.

1)

Jetzt prüfe nochmal genau nach, wie

f (x)

aussieht (Schusselfehler)

. .

2)

Genauso lösen, wie bei Deiner anderen Aufgabe (obere Grenze)

x

ist unbekannt.
LG Ma-Ma

aleph-math aktiv_icon

23:52 Uhr, 16.01.2014

Majestät,
halten zu Gnaden, aber Maj. haben falsch eingesetzt bzw gerechnet!

Ansatz & Formel OK:

V = π (\frac{9}{2} x^{2} + x)_{0}^{3}

;
beim Einsetzen (&Durchrechnen) hat sich jedoch ein (Schussel)fehler eingeschlichen (richtig quadr.!):
1)

V = π (\frac{9}{2} x^{2} + x)_{0}^{3} = π (\frac{9}{2} 3^{2} + 3) = π (\frac{9}{2} \underline{9} + 3) = \dots = 136, 66 (m l)

.

Dabei entdecke ich ein kl. Problem: d. Integr.grenzen sind mit 0 & 3 angeg., d. Nullstelle f(x)=0 liegt jedoch bei -1! Entw. hat d. Becher einen dicken Boden (v. -1 bis 0) wie bei Mogelpackg. o. man muß d. unt. Grenze verschieben. Zum Vgl. hab ich das gemacht u. erhalte V' = 153,94.. Prof. fragen!

2) "Ma-Ma" hat recht; nicht mit Volumina rechnen, sond. best. x für gegeb. Vol. suchen, dh. d.ob. Formel nach x umstellen. Gibt:

V - 100 = π (\frac{9}{2} x^{2} + x) = \Rightarrow \frac{9 π}{2} x^{2} + π x - V + 100 = 0

.
Mit d. "Mittern.formel" ergibt das:

x_{1} = 1, 50; x_{2} = - 1, 725

.

D. neg. Lösg. ist nicht realistisch, bleibt also, daß d. Becher mit 100 ml genau zur Hälfte gefüllt ist. (Bei d. Grenzen 0 & 3; vgl. d. Überleg. oben)

Hoffe, Majest. sind zufrieden!

G'schamster Diener, GA aus Wien

** Edit: Formelsatz korrig., Details ausgebessert

Ma-Ma aktiv_icon

00:13 Uhr, 17.01.2014

"@aleph:" WARUM rechnest Du hier eine Komplettlösung vor ?
Ist weder gewünscht

\to

Lehrer können auch googeln !
KK1887 ist beim Nachlesen sicher auch selber in der Lage seinen Schusselfehler zu finden ! Oder meinst Du, er ist zu

d ... ...

. dazu ?

Deine Lösung ist zudem auch noch falsch !

Wenn Du gerne zeigen möchtest, dass DU es evtl. kannst, so empfehle ich Dir www.e-aufgabe.de
Dort werden ausschließlich Komplettlösungen erwartet !

- - - - - - - - - - - - - -

Nachtrag:
"@aleph:" Auch nach Deiner Korrektur wird das Ergebnis nicht richtiger

. .

aleph-math aktiv_icon

06:34 Uhr, 17.01.2014

Majestät!

D. Rüffel ist so eine Sache, aber mathem. hat Mama recht, verflixt nochmal! :((
k=9 steht ja vor d. Klammer, nicht nur vor d. quadr. Glied! Also lautet d. Formel:

V = 9 π (\frac{x^{2}}{2} + x)

.
Grenzen 0 & 3 (richtig!) einsetzen ergibt:

V = 9 π (\frac{3^{2}}{2} + 3) = \dots = 212, 06 (m l)

. Voila!

D. richtige k wirkt natürl. auch beim Restvol., also gilt:

V_{F} = 9 π (\frac{x_{F}^{2}}{2} + x_{F}) \Rightarrow 0.5 x^{2} + x - \frac{V_{F}}{9 π} = 0

. Mit d. Füllvol

V_{F} = 100

.
D. Lösg. ist dann zum Vgl.:

x = \pm \sqrt{1 + \frac{2 V_{F}}{9 π}} - 1 = \pm \sqrt{1 + \frac{2 \cdot 100}{9 π}} - 1 = \pm \sqrt{8, 0736} - 1 \Rightarrow

x_{1} \approx 1, 84; x_{2} \approx - 3, 84

.

D. neg. x ist wieder unrealistisch, dh. d. Becher ist bis zur Höhe v. ~1,8 cm gefüllt. Fertig!

@mama: Solche Komment. bringen d. Frager nichts u. sollten, wenn überhpt., *privat* gesendet werden o. geht das nicht mehr (Frage an Moderator)?
Q: Warum?
A: Damit d. Frager was hat, woran er sich halten kann, ähnl. Lösg.heft. Daß ich etwas übersehen hab, ist nat. nicht gut, sorry! Aber auch das passt zum Lösg.heft, sind auch glgt. Fehler..
Außerd., wenn ich das mit Faktor k schon übersehen hab, wird dann eine Antw. nach d. Motto "deine Lösg. ist falsch, aber suchen mußt du d. Fehler selber.." auf d. richtige Spur bringen? M.M. eher nicht..

Was d. Komplettlösg. betrifft, danke f.d. Tipp! Das schau ich mir an..

NiFU & gutes Gelingen!

PS: And. Aufg. sind oft ähnl. aufgebaut, diese kann also evt. als Beisp. dienen.. -GA

------
Um nicht d. Zahl d. Einträge unnötig zu vergrößern, hier ein Nachtrag:

@mama: Wenn mit "Korrektur" d. ob. Beitrag gemeint ist, dann möcht ich's aber wirklich wissen! Was soll an d. Lösg. falsch sein? (u. Bitte kein Rätselraten wie f.d. Frager! Für Schnitzeljagd hab ich 7h früh keinen Nerv!)

KaiserKarl1887 aktiv_icon

15:01 Uhr, 17.01.2014

Vielen Dank ;-)

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