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Wachstums- und Zerfallsprozesse O.o

Schüler

Tags: Exponentialfunktion, Wachstumsprozess, Zerfallsprozess

Mathebloeder aktiv_icon

21:58 Uhr, 06.02.2013

Hallo zusammen!

Ich brüte derzeit über dem genannten Themengebiet und komme einfach nicht weiter.
Leider erklären mir meine Lernunterlagen das Thema viel zu unzureichend, so dass ich nun massive Verständisprobleme habe.

Momentan geht's um diese Aufgabe:

Eine Algenart wächst so stark, dass sich die Menge innerhalb von 15 Jahren verdoppelt. Um wieviel Prozent wachsen die Algen pro Jahr?

Ich denke mal hier muss ich eine Wachstumsfunktion angeben. Nur wie?

Würde mich tierisch freuen, wenn jemand mir die Thematik (für Mathe-Blödis wie mich) verständlich erklären könnte. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

22:47 Uhr, 06.02.2013

Komplette Aufgabenstellung ?

Wachstumsgleichung ? Was schlägst Du vor ?

Gwunderi aktiv_icon

23:10 Uhr, 06.02.2013

Nehmen wir an, die Anfangsmenge sei a.
Wenn sie jedes Jahr um 10% wachsen würde (nur als Beispiel), wäre die Wachstumsrate 1,1.

nach dem 1. Jahr:

a \cdot 1, 1

nach dem 2. Jahr:

(a \cdot 1, 1) \cdot 1, 1

nach dem 3. Jahr:

[(a \cdot 1, 1) \cdot 1, 1] \cdot 1, 1 = a \cdot (1, 1)^{3}

Die Wachstumsrate sei x.

Nach 15 Jahren haben wir:

a \cdot x^{15} = 2 a

x^{15} = 2

x = 1, 04729

Kontrolle:

a \cdot 1, 0472 9^{15} = 1, 99988 a \approx 2 a

Mathebloeder aktiv_icon

21:11 Uhr, 10.02.2013

Entschuldigt bitte meine späte Antwort. Ich habe versäumt den Thread mit einem Lesezeichen zu markieren und ihn prompt vergessen...:-D)

@Ma-Ma: Die Aufgabenstellung ist so komplett und leider stelle ich mich ziemlich blöd an bei diesem Thema. Ich weiß in etwa in welche Richtung die Sache gehen müsste, doch wie ich das auf Papier bringe bleibt mir ein Rätsel.

So komme ich auch gleich auf Gwunderi's Antwort:
Ich glaube so langsam verstehe ich das ganze. Nur weiß ich noch nicht so genau, wie du auf die Wachstumsrate 1,1 und die 2a kommst.

Zu der Wachstumsrate - mein einziger amateuerhafter Gedanke: Wenn die Menge um 20% wachsen würde, wäre die Wachstumsrate dann 1,2 ?

Zu den 2a: Ist damit gemeint, dass sich die Menge a verdoppelt? Also "mal 2" genommen wird? Und wenn es jetzt in der Aufgabenstellung geheißen hätte "...innheralb 15 Jahren verdreifacht." - Dann dementsprechend 3a ?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Gwunderi aktiv_icon

23:31 Uhr, 10.02.2013

Ja, Du hast alle Fragen schon richtig beantwortet.

Wenn die Menge (jährlich) um 20% wachsen würde, wäre di Wachstumsrate 1,2

denn bei der Ausgangsmenge a hätten wir dann nach 1 Jahr:

a \cdot \frac{120}{100} = 1, 2 \cdot a

Die 2a sind die "Schlussmenge" - in diesem Fall das doppelte. Hätte sie sich z.B. verdreifacht, dann hätten wir am Schluss 3a.

Habe übrigens auch schon etliche Posts einfach vergessen, kann leicht passieren ... :-)

Ma-Ma aktiv_icon

23:44 Uhr, 10.02.2013

Gwunderi hat Dir ja schon eine prima Starthilfe gegeben.

x = 1,04729

K_{n} = K_{0} \cdot {(1,04729)}^{t}

K_{0} = 1

t = 1

Jahr

K (t = 1) =

- - - - - - - - - -

Anschließend noch in % umrechnen

. .

Mathebloeder aktiv_icon

23:53 Uhr, 10.02.2013

Vielen Dank das du nochmal vorbeigeschaut hast!

Aaach ja, das wars ja noch nicht.. Oo

Bis jetzt habe ich ja nur festgestellt, dass für die Algen - die sich innerhalb von 15 Jahren verdoppeln - die Wachstumsrate 1,04729 beträgt (oder?)

Und Mist, jetzt stecke ich schon wieder fest.. :(

Ma-Ma aktiv_icon

00:00 Uhr, 11.02.2013

Die Wachstumsrate ist das Entscheidende !

Schaue auch auf die Zinseszinsformel.
Startkapital

K_{0} = 1

EUR
Wachstumsrate

q = 1,04729

K_{n} = K_{0} \cdot q^{t}

Nun setze für

t = 1

Jahr ein

. .

.

Wieviel EURO hast Du nach einem Jahr ?

Um wieviel Prozent sind die Algen in einem Jahr gewachsen ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Die Prozentzahl könnte man übrigens auch direkt aus

q

ablesen

. .

Ma-Ma aktiv_icon

00:16 Uhr, 11.02.2013

K_{n}

bei

t = 1

zu berechnen dauert doch nur 3 Sekunden

. .

. Wo hakt´s ?

Mathebloeder aktiv_icon

00:18 Uhr, 11.02.2013

Hmm.. Wenn ich das nachrechne, komme ich auf ein Ergebnis, welches mir etwas falsch vorkommt O.o

Also:

K_{n} = K_{0} * q^{t}

K_{n} = 1 * 1, 0472 9^{365}

Irgendwas mache ich da doch falsch..

Oder meintest du:

K_{n} = 1 * 1, 0472 9^{1}

Dann hätte ich nach einem Jahr: 1,04729€

Und dann anstelle von

K_{0}

Die 2a nehmen?

Ma-Ma aktiv_icon

00:25 Uhr, 11.02.2013

t = 1

Wir haben bisher immer in Jahren gerechnet

. .

. warum setzt Du auf einaml

365

Tage ein ? Bleib bei Jahren !

Ma-Ma aktiv_icon

00:31 Uhr, 11.02.2013

Ja, nach 1 Jahr hättest Du

1,04729

EUR.

- - - - -

Kannst auch nochmal in die Formelsammlung schauen und den Zinssatz bestimmen

. .

. .

. ohne rechnen kann ich Dir sagen, dass der Zinssatz

p = 4,729 %

beträgt

. .

Mathebloeder aktiv_icon

00:37 Uhr, 11.02.2013

Argh.. Das kann doch nicht so schwierig sein. Oder ich stelle mich gerade wirklich blöd an.

Ich habe hier folgende Ex.Funktion zum Thema Zinsen stehen:

K_{n} = K_{0} * (1 + \frac{p}{100})^{n}

Die muss ich doch nun irgendwie nach p auflösen. Nur was ist K0 und Kn? n ist ja ein Jahr.

Ahhhh ich glaube ich habs.
Ist das der richtige Weg:

p = 1, 04729 - 1 * 10 0^{1}

p = 4,729%

Ma-Ma aktiv_icon

00:46 Uhr, 11.02.2013

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAArgh, Du stellst Dich im Moment wirklich ungeschickt an ...

q = 1 + \frac{p}{100}

Ma-Ma aktiv_icon

00:49 Uhr, 11.02.2013

JA,

p = 4,729 %

. .

. und genau um diesen Prozentsatz wachsen auch Deine Algen pro Jahr !

Mathebloeder aktiv_icon

00:54 Uhr, 11.02.2013

Ahhh :-) Dann ist jetzt der Knoten endlich geplatzt.

Die Formel "

K_{n} = K_{0} * (1 + \frac{p}{100})^{n}

" dürfte aber eigentlich nicht falsch sein? So steht sie nämlich hier im Buch.

Aber solange der Rechenweg, bzw. der Gedanke richtig ist... :-P)

Vielen Dank nochmal für Deine Hilfe!

Ma-Ma aktiv_icon

00:59 Uhr, 11.02.2013

Diese Formel ist richtig. Man kann auch schreiben

K_{n} = K_{0} \cdot q^{n}

Du kannst mit Algen rechnen oder mit EURO oder mit Ostereier oder mit Fischen

. .

.
Gibt es dazu noch eine Frage ?

LG Ma-Ma

Mathebloeder aktiv_icon

01:01 Uhr, 11.02.2013

Achsoo, da habe ich dich falsch verstanden gehabt.
Nee, das sollte es dann erstmal gewesen sein.

Danke nochmal und noch einen angenehmen Abend :-)

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