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Wann binomische Formel?

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Tags: Binomische Formeln, Binomischer Lehrsatz, Differentiation, Folgen, Funktion, Grenzwert, Reihen

Gentleman aktiv_icon

19:34 Uhr, 28.11.2010

Guten Tag,

ich bin mir nie sicher, wann ich die binomischen Formeln anwenden soll und es wäre nett, wenn jemand anhand meiner Beispiele eine Erläuterung abgeben könnte.

Beispiel 1

Ich soll untersuchen ob die Eigenschaft

g (a + b) = g (a) + g (b)

der Funktion

g (x) = x^{2}

genügen.

Also rechne ich

{(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}

heisst es nun a^2+2ab+b^2 ungleich

a^{2} + b^{2}

oder

a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2},

und warum (keine) binomische Formel?

Beispiel 2

Ich habe einen Quotienten den ich differenziere, so dass zum Beispiel

f' (x) = \frac{2 x - 3 x^{2}}{{(3 - 2 x)}^{2}}

(Quotentenregel, so dass der Term dabei immer einen Termi mit Exponenten 2 hat. Wenn ich nun die Steigung der Tangente ausrechnen soll im Punkt

(x_{0}, y 0)

und

f' (x_{0})

einsetzte, muss ich dann den Nenner erst ausrechnen mit der binomische Formel oder kann ich gleich einsetzen und ausrechnen, und warum hier (keine) binomische Formel?

Beispiel 3

Produktregel und Kettenregel

f (x) = {(3 x + 1)}^{3} \cdot {(4 x + 1)}^{3}

Hier würde ich ebenfalls zwei Terme mit

{(a + b)}^{2}

rausbekommen und beim ausrechnen die binomische Formel anwenden, warum hier aber nicht in anderen Fällen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Binomische Formeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Binomische Formeln erkennen und anwenden
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

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hagman aktiv_icon

23:52 Uhr, 28.11.2010

Bei Beispiel 1 folgt nach der

B . F

. dass

a^{2} + 2 a b + b^{2} = a^{2} +

b^2gelten soll, aber das gilt nur, wenn

a = 0

oder

b = 0

.

Ob man

z . B

. für

x = 5

lieber

{(3 - 2 x)}^{2} = {(3 - 2 \cdot 5)}^{2} = {(- 7)}^{2} = 49

rechnet oder lieber

{(3 - 2 x)}^{2} = 9 - 12 x + 4 x^{2} = 9 - 60 + 100 = 49,

ist Geschmackssache, denn es ist ja gerade die Aussage der

B . F .,

dass es egal ist - direktes Einsetzen scheint ökonomischer zu sein.

aleph-math aktiv_icon

03:19 Uhr, 29.11.2010

"ich bin mir nie sicher, wann ich die binomischen Formeln anwenden soll..."

Ich würde einfach sagen, wenn es nötig ist u/o. 'was "bringt".. In Bsp.1 ist es nötig, weil man die Quadrate li. u. re. vergleichen will/muss:

(a + b) ² = a ² + 2 a b + b ² \neq a ² + b ² \Rightarrow

g(x) ist NICHT linear (so nennt man die betreff. Eigenschaft in der Algebra).

In Bsp.2 ist es - wie schon gesagt - "wurscht", aber ökonomisch vorteilhafter; in Bsp.3 kommt's drauf an, was mit der Ableit. geschehen soll: für Extrema ist es nötig, die Formel auszuführen, weil man für die Nullstellensuche ja die Var. x isolieren muss, für die "blosse" Steigung an gegeb. Stellen ist es wie in Bsp.2 dagegen NICHT nötig.

Auch den umgekehrten Fall, also die Zusammenfassung von einzelnen Quadraten u. gemischten Gliedern in einen quadrat. Ausdruck, muss man berücksichtigen. Aber dafür gilt das Gleiche: ausführen, wenn nötig o. vorteilhaft.

Hoffe, das hilft ein wenig in Zukunft.. Alles Gute! -GA

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